第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试答案

第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试答案图55的30个格子中各有一个数字，最上面一横行和最左面一竖列的数字已经填好，其余每个格子中的数字等于同一横行最左面数字与同一竖到最上面数字之和（例如a=14＋17＝31）。问这30个数字的总和等于多少？［解法]从题目的填数规则，我们知道，与12同一行的六个格子中都有12这个数，因此总和数中有六个12相加。与14同一行的六个格子中都有14这个数，所以总和数中有六个14这个数。同样，与16同一行，与18同一行的格子中，分别都有六个16，六个18，也就是说，从行看总和中有六个12，六个14，六个16，六个18.它们的和是6×（12＋14＋16＋18）再从列看，与11同一列的五个格子中都有11这个数。所以在总和数中有五个11这个救。同样分析，总和数中有五个13，五个15，五个17，五个19，它们之和是：5×（11＋13＋15＋17＋19）方格子中还有一个数10，此外，没有别的数了。所以总和数=6×（12＋14＋16＋18）＋5×（11＋13＋17＋19）＋10＝745［分析与讨论]这道题，有的同学按填数规则把每个格于上的数都填出来，然后用硬加的办法求出总和数。这样做法个可取，因为如果行数列数很大时，这样做的计算最大，硬加就很困难。因此应该采用巧算法。本题还有其它的巧算法，这里就不再叙述了。另外需要提醒的是，不少问学思路是正确的，但忘了加10这个数。同学们不要轻视这种疏忽。本题求一些数的和，在表现形式上是有新意的，平时同学们常做的求和问题，多数是求一串数的和，而本题是求一个表上所有数字之和。这种填着数的表格在工农业和科学试验上是常用的。平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米（图57）；以CD为底时高是16厘米。求：平行四边形ABCD的面积。[解法]平行四边形的面积=底×高所以，平行四边形ABCD的面积S=BC×14，也就是SBC141同样16CDS,SCD161也就是S=280（平方厘米）答：平行四边形ABCD的面积是280平方厘米。［分析与讨论]本题是求面积问题，解法很多。问学们可以试试其它解法再和上面的解法比较一下，看看哪种方法最简便？同一个问题，可以从不同角把它看成不同的数学问题，比如本题可以看成求面积问题，也可以看成“工程问题。这种能力的培养也是非常重要的。一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程长之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用时间之比次依是4∶5∶6。已知他上坡时速度为每小时3公里.路程全长50公里。问此人走完全程用了多少时间？［解法]上坡时间是（上坡路程）÷（上坡的速度）=50×3211÷3=925(小时)上坡时间占全程时间的1546514所以，全程时间答：此人走完全程共用了2510小时.[分析与讨论]这是一道比例题。比例问题在代数和几何中都很重要。在小学算术课本中也有不少比例问题，主要是搞清楚部分与整体的关系。在进一步学习过程中，同学们会不断得到有关知识与技能。小玲有两种不同形状的纸板。一种是正方形的，一种是长方形的（图58）。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（图59）。正好将纸板用完，在小玲所做的纸盒中、竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？[解法1]设竖式盒总数：横式盒总数=X∶1长方形纸板数量=（4X＋3）×（横式盒的总数）；正方形纸板数量=（X＋2）×（横式盒的总数）。所以4X＋3=2×（X＋2）答：竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。[解法2]如果把无盖纸盒都加上了盖子。那么，无论盒是竖式的还是横式的，在加盖以后都用了两块正方形纸板四块长方形纸板。因此，加盖以后所用的正方形纸板总数长方形纸板总数之比是2∶4=1∶2。而在加盖以前所用正方形纸板总数与长方形纸板总数之比恰好也是1∶2。由此可见，所加的盖子中正方形的比是1∶2，因为竖式的盖子是正方形的，而横式盒的盖子是长方形的。所以在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2。[分析与讨论]注意，“解法2”是对于比数是1∶2这个特定条件下的一种特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶3，那么答案就是3∶1。请同学们算一算，如果正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是N∶M，那么答案是什么？请自己分析讨论一下。在工业生产中，常常遇到这样一类问题，原材料的来源是按一定的配比给定了，要用这些材料生产各种类型的产品。这时有最佳安排问题。安排不好就会造成材料的浪费。学了小学的数学知识就可以解决一些这类问题中最简单的问题。在一根长木棍上，有三种刻度线、第一种刻度线将木棍分成十等份；第于种将木棍分成十二等份；第三仲将木棍分成十五等份。如果沿每条刻度先将木的锯断，木棍总共被锯成多少段？[解法]求出（10，12，15）的最小公倍数，它是60。把这根木棍的10等分的每等分长6个单位。12等分的每等分长5单位；15等分的每等分长4单位。不计木的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14（相应于10，12，15等分），共计34个。由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等分的内分点在30单位处处相重，必须从34中减。又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等分的内分点在20童位和40童位两个相重，必须再减去2。同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等分的内分点在12，24，26；48童位处相重，必须再减去4。由于这些相重点，各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27小刻度点，沿这些刻度点把木棍锯成28段。答：木棍总共被锯成28段。[分析与讨论]本题还有许多解法。不少同学把木棍长看成1个单位，那么等分点将是一批分数，分析起来不如这里父段。[分析与讨论]本题还有许多解法。不少同学把木棍长看成1个单位，那么等分点将是一批分数，分析起来不如这里给出的解法清楚，因此计数多有错。也有一些同学列出全部等分点，计算繁琐，也未必能做对，所以巧算是很重要的。已知：问：a的整数部分是多少？[解法］现在我们来看a的第二项的分母，一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＜11×69+12×69+13×69+14×69+15×69另一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＞11×65+12×65+13×65＋14×65+15×65由于一个正的分数，分母变小分数变大，分母变大分数变小。所以即同样分析可得，也就是所以a的整数部分是101。答：a的整数部分是101。[分析与讨论]这是一道估值问题。估值问题不论在纯数学上还是在应用数学上都很重要。估值问题在小学生中很少受到训练。但同学们在日常生活中，经常会遇到一些这类问题，他们也有一些解决的办法。当然直接计算的方法是不可取的。在小学生中，适当增加一点这方面的训练，是有好处的。图60算式中，所有分母都是四位数。请在每个方格中各填入一个数字，使等式成立。图60[解法］本题中，三个分数的分母都是四位数、不能立刻看出结果，因此有必要将问题先简化一下。我们知道，如果将三个分数的分母同时扩大或缩小相同的倍数，等式照样成立。这就启发我们一种化简的方法，使分母尽量变得简单。自然的想法是将1988这个数做质因数分解。通过试除知道1988的质因数分解为：1988＝2×2×7×71。这样，根据上面的分析，可以先用1988的约数来代替1998，试着找一组解，然后再将分母都乘以适当的倍数，检查一个是否都是四位数就行了例如：1988的质因数分解中有的数4，很容易看出：由于1988＝2×2×7×71=4×497，所以，将上面等式的两边均乘这样就给出了一组适合条件的解。再如，1988＝2×2×7×71=（2×7）×（2×71）＝14×142而且有101141351,两边同乘以1421,就得这就给出了另一组解。[分析和讨论]我们在解题中只给出了二组不同的解，而且在找解时多少带有一点试探的意味。这是因为要限于小学教村的内容，而且也为了使同学们对如何简化问题的技巧有一点体会。这道题有多少组不同的解呢？是不是还有更一般的方法？下面就来讨论。因为，要涉及到较深一点的知识，同学们如果现在看不懂，可以留到以后再看。为叙述方便，个妨将问题重写出来设X，Y为两个四位数，并适合问：X，Y各为多少？解：从（1）式可以看出,Y119881,也就是说Y1988.令U=1988-Y根据题意，Y是四们数，即Y＞1000，由此可知：0＜U＜988（2）和U代换（1）式中的Y，我们有因此亦即XU=（1988-U）1988=19882-988U（5）从（5）式可以得到19882=XU＋1988U=（X＋1988）U（6）也就是说，其中，S为4位数，U是适合条件（2）的整数。由于（7）式左方是整数，因此U必须是19882的因子。更进一步，按题设X是四位数，亦即X≤9999。所以从（7）式可知即再结合（2）式，我们有330＜U＜988（10）这样，整个问题就化为求19882中适合条件（10）的因数有多少个？容易看出：1988有质因素分解1988=22×7×71（11）因此，19882=24×72×712。其中有哪些因数适合条件（10）呢？经过检查可知有如下4个因素：71×7，71×23，72×23，72×24用这4个数分别代入（7）式和Y=1988-U，就可以得到四组解如下：（1）X=5964，Y=1491；（Ⅱ）X＝4970，Y=1420；（Ⅲ）X=8094，Y=1596；（Ⅳ）X＝3053，Y＝1204。最后，我们要给出解的一般公式，以供参考。设X，Y，Z为三个自然数，适合求X，Y，Z的一般形式［解]由（12）式可知：因此，X＞Z，Y＞Z，由此不妨设X＝Z+U，Y=Z+V（14）其中U＞0，V＞0.将（14）式代入到（12）式中，我们有即（2Z＋U＋V）Z=（Z+U）（Z+V）=Z2＋ZU+ZV+UV（16）化简后可得：Z2=UV（17）设U和V有最大公约数为T，则U=U1·T，V=V1.T（18）其中U1和V1互质。将（16）式代入到（17）式中，可以得到Z=Z1T（19）而Z1，U1，V1适合方程因为U1和V1互质，即只有公因数1，从（20）可知U1和V1均为平方数，也就说，一般解为将（21）式代入到（14）式中，我们有一般解：X=R（R＋S）TY＝S（R＋S）T（22）Z=R·S·T其中R，S，T均为自然数。有兴趣的同学不妨用一般公式试试求本题的解。