第32届全国中学生物理竞赛参考答案及评分标准

第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2015年9月19日一、（15分）（1）图中X和Y代表的核素分别为15O和13C①（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为1213pCN②1313eNCev③1314pCN④1415pNO⑤1515eONev⑥15124pNCHe⑦（3）整个循环的核反应，相当于4e4pHe2e+2v○8完成一个碳循环过程释放的核能为4e2peH42EmMmc41.00784.0026931.49420.511MeV25.619MeV⑨评分参考：第（1）问4分，X和Y正确，各2分；第（2）问6分，②③④⑤⑥⑦式各1分：第（3）问5分，⑧式2分，⑨式3分。二、（15分）（l）（解法一）取碰前B球所在位置O为原点，建立坐标系（如图）。碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有0ABxxxmvmvMVMV①ABy0yymvMVMV②0AB2222xxxLLLLmvmvMVMV③式中，xv和yv表示球C碰后的沿x方向利y方向的速度分量。由于轻杆长度为L，按照图中建立的坐标系有222ABABxtxtytytL④由上式对时间求导得ABABABAB0xxyyxtxtVtVtytytVtVt⑤在碰撞后的瞬间有AB00xtxt，AB00ytytL⑥利用⑥式，⑤式在碰撞后的瞬司成为AABB00yyyyVVtVtV⑦由①②⑦式得AB2yyymVVvM⑧由①②③式得A0xxmVvvM⑨B0xV⑩利用⑧⑨⑩式，碰撞后系统的动能为222222AABB2222AA2222011122211222112224xyxyxyxyxyxxyEmvvMVVMVVmvvMVVmMmmvvvmvMM○11（解法二）取碰前B球所在位置O为原氧，建立坐标系（如图）。设碰撞后，小球C的运动速率为v，细杆中心的运动速度为CV，细杆绕中心转动的角速度为。碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有0C2xxmvmvMV①C02yymvMV②022222xLLLLmvmvM③式中，xv和yv表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。由①②③式得c02xxmVvvM④C2yymVvM⑤0xmvvML⑥碰撞后系统的动能为22222CC111222222xyxyLEmvvMVVM⑦利用④⑤⑥式，系统动能⑦式可表示成22220112224xxymMmEmvvvmvMM⑧（2）解法（一）的○11式或者解法（二）的⑧式即为22220012122xyMmmmMmmEvvmvvMMmMMm○12可见，在条件0xmvvMm，0yv○13下，碰后系统动能达到其最小值22012mEvMm○14它是小球仅与球A做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。评分参考：第（1）问10分，（解法一）①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩○11式各1分；（解法二）①②式各1分，③式2分，④⑤⑥各1分，⑦式2分，⑧式1分；第（2）问5分，○12○13式各2分，○14式1分。三、（20分）（1）设圆环的质量为m，它在碰撞过程中受到的地面对它的水平冲量为tI；碰撞后圆环质心的速度大小为v，v与竖直向上方向的夹角（按如图所示的顺时针方向计算）为，圆环的角速度为。规定水平向右方向和顺时针方向分别为水平动量和角速度的正方向。在水平方向，由动量定理有0sinsintmvmvI①由对质心的动量矩定理有0trmrrmrrI②按题意，圆环在弹起前刚好与地面无相对滑动，因而此时圆环上与地面的接触点的水平速度为零，即sin0vr③由题意知00coscos0vkv④联立①②③④式得222200014cossin2vkvrv⑤001tantan2cosrkv⑥001sin2rvr⑦（2）若圆环与地而碰后能竖直弹起，则其速度与竖直方向的夹角0将上式代入⑥式得，使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件为00sinrv⑧在此条件下，在与地面刚刚碰后的瞬间有0，0cosvvk⑨即圆环做竖直上抛运动。圆环上升的最大高度为22222222000cos222kvrvkvhggg⑩（3）由于忽略空气阻力，圆环再次弹起后，角速度保持为不变，质心做以初速度为v的斜抛运动。圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s随变化的函数关系式为2000cossin2sinkvvsvrgg○11s取最大值时，的取值满足000cos2sin0kvdsvrdg○12由得○12式得22200008sin4rrvv○13将○13代入○11式得22222220000000018382816krvrvrrrvsg○1422222220000000028382816krvrvrrrvsg○15式中1s和2s分别对应于○13式右端根号前取正和负号的情形。由以上两式可知，s的最大值为222222200000000max8382816krvrvrrrvsg○16又因为1sin1由上式得，当s取最大值时，r、0v和0应满足00vr○17评分参考：第（1）问9分，①②式符2分，③④⑤⑥⑦式各1分：第（2）问4分，⑧⑨式各1分，⑩式2分：第（3）问7分，○11○12○13○14○15○16○17式各1分。四、（25分）（1）解法（一）按照题给坐标系，设待测点P的位置为P,0,xa，飞机在0t时所在点K的位置为0,,0h。在时刻1t，飞机所在位置A点的坐标为1A,,0xxh，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻2t返回到飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为2A,,0xxh，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有222201P0221PRxxRxxctt①2121xxvtt②式中220Rha。现设在时刻1t，飞机所在位置A点的坐标为1,,0xh，机载雷达此时发出另一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻2t返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为2,,0xh。同理有2121xxvtt③1111xxvtt④2222xxvtt⑤由①②式和vc得22222101P01P211ttRxxRxxxxc2222201P01P211P2122222201P01P211P212201P1P212201P12122RxxRxxvttxxxxcRxxRxxvttxxvttcRxxxxvttccRxx⑥上式右端已略去了2/vc级的高阶顶。由⑥式解得2201P2112201P211RxxttxvccRxx2201P1P2201P2201P1P22122RxxxxvccRxxRxxvxxcc⑦同理，由③④式和vc得2201P211P222Rxxvttxxcc⑧由⑦⑧式得2222221101P01P11222vttttRxxRxxxxcc⑨利用⑤式，⑨式成为22112222201P1101P1121P112201P222ttttvRxxvttRxxttccxxvttcRxx⑩上式右端已略去了2/vc级的高阶项。令110ttT○11式中，0T为机载雷达在发射的光信号的周期，则22ttT○12是机载雷达接受到相应的光信号的周期。○11式可写成AP00220AP2xxvTTTcRxx○13或APD00220AP2xxvffffcRxx○14式中1x已用Ax替代，而1fT，001fT是相应的光信号的频率，Df是接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。○14式也可写为D002cosvffffc○14式中AP220APcosxxRxx即为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。解法（二）取航线KA和直线BC所构成的平面为新的坐标平面。K为坐标原点，航线KA为x轴，从K指向BC与Z轴交点的直线为y轴；在时刻1t，飞机所在位置A点的坐标为1A,0xx；目标点P的位置P0,xR在这个坐标系里是固定的。设机载雷达于时刻t发出的发射信号的相位为0tt式中0和分别是相应的角频率和初相位。机载雷达于时刻1t在A点2A1,0xxt接收到的经P反射的信号是机载雷达于时刻1t在A点1A1,0xxt发出的，其相位为101tt①式中为信号往返过程所需的时间，它满足222201P02PRxxRxxc②21xxv③经过时间间隔t，同理有101tttt④222201P02PRxxRxxc⑤21xxv⑥另外，由于同样的原因（飞机作匀速直线运动），还有11xxvt⑦22xxxt设机载雷达收到的信号的圆频率为，则应有11tttt⑧由②③式和vc得222201P01P212222201P01P211P2122222201P01P1P2201P1P2201P112122RxxRxxxxcRxxRxxxxxxxxcRxxRxxvxxvcRxxxxvccRxx⑨上式右端已略去了2/vc级的高阶项。由⑨式解得2201P12201P211RxxxvccRxx2201P1P2201P2201P1P22122RxxxxvccRxxRxxvxxcc⑩同理，由⑤⑥式和vc得2201P1P222Rxxvxxcc○11由①④⑧式得00tt○12将2πf○13代入○12式，利用⑦⑩○11式，在t很小的情形下，略去t的高阶项，得APD0020AP2xxvffffcRxx○14或002cosDvffffac⑭式中AP220APcos()xxaRxx即a为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。（2）由于机载雷达天线发射的无线电波束面的张角的限制（见图（b）），有ss22220s0s/2/222(/2)(/2)LLaRLRL≤≤⑮频移Df分别为正、零或负的条件是：当APaπ/2()xx时，频移D0f；当AP)xx时，即机载雷达发射信号时正好位于P点到航线的垂足处，频移D0f⑯当