第29届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解

第届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解29广东仲元中学刘雁三、如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在B端牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角为锐角，杆BC长为，杆AB长为lcosl。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板。杆AB延长线与挡板垂直。现使该系统以大小为、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球心在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角0v应满足的条件。第1页共6页从刚体的平面平行运动观点，另选参考点用角动量守恒定律求碰撞后刚体的角速度解：如图所示，P为刚体的质心，易求得PB与挡板平行，P、B两点的距离为：sin3lPB质心的速度方向始终与挡板垂直，碰撞刚结束时，C的速度方向与挡板平行。由此可找到刚体的瞬心O。且有：cosOClsinOBlOAl碰撞刚结束时，A、B、C的速度方向分别与OA、OB和OC垂直，设其大小分别为、和，设碰撞后质心的速度大小为AvBvCvPv，刚体的角速度为，则有：AvOAlsinBvOBlcosCvOCl2sin()3PlvOPOBPB以C点为参考点，则碰撞前后刚体的角动量守恒。20(cos)sin2sinABmvllmvlmvlAB0vCABBvvAPCOCvCBPA第届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解29解得：0sinvl202sin3Pvv系统绕质心转过2所需时间为：0122sinltv若球B先于球A与挡板相碰，则在球C与挡板碰撞后至B球与挡板相碰所用的时间小于。即有：tcosPlPBtv解得：3arctan1即：36原参考答案及评分标准解法一如图1所示，建直角坐标Oxy，x轴与挡板垂直，轴与挡板重合.碰撞前体系质心的速度为，方向沿y0vx轴正方向，以P表示系统的质心，以和表示碰撞后质心的速度分量，PxvPyvJ表示墙作用于小球的冲量的大小.根据质心运动定理有CABCyxOPCPlPx033Jmmvv（1）Py030mv（2）由（1）和（2）式得0Px33mvJmv（3）Py0v（4）可在质心参考系中考察系统对质心的角动量.在球C与挡板碰撞过程中，质心的坐标为Pcosxl（5）图1P1sin3yl（6）球C碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为C，则三小球对质心P的角动量第2页共6页第届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解29第3页共6页222APBPCPLmlmlml（7）式中、和分别是APlBPlCPlA、和C三球到质心BP的距离，由图1可知22222AP1cossin9lll（8）222BP1sin9ll（9）22222CP4cossin9lll（10）由（7）、（8）、（9）和（10）各式得22(12cos)3Lml2（11）在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力.但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量的冲量矩，即有J2sin3JlL（12）【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】由（11）和（12）式得2sin(12cos)Jml(13)球C相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）CPxCPPsin(sin||)llvy(14)CPyCPcoscosllv(15)球C相对固定参考系速度的x分量为CxCPxPxvvv（16）y由（3）、（6）、（13）和（16）各式得ACx02(12cos)Jmvv（17）根据题意有0Cxv（18）由（17）和（18）式得20(12cos)Jmv（19）由（13）和（19）式得0sinlv（20）球A若先于球与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过角，即杆BAB至xOPBC图2第届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解29少转到沿y方向，如图2所示.系统绕质心转过所需时间12t（21）在此时间内质心沿x方向向右移动的距离Pxxtv（22）若PyxxP（23）则球先于球BA与挡板碰撞.由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得3arctan1（24）即36(25)评分标准：本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.解法二如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，轴与挡板重合，以、、、、和分别表示球C与挡板刚碰撞后yAxvAyvBxvByvCxvCyvA、和C三球速度的分量，根据题意有BCx0v（1）以表示挡板作用于球的冲量的大小，其方向沿JCx轴的负方向，根据质点组的动量定理有AxBx03Jmmmvvv（2）第4页共6页AyByCy0mmmvvv（3）以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有AyBysincoscoscosJlmllmlm0sinlvvv（4）因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有AxBxvv（5）CyByBxsinsincosvvvAxAyCycossinsin（6）vvv（7）（7）式中为杆AB与连线AC的夹角.由几何关系有22coscos13cos（8）yAyvByvABCOxAxvCyvBxvP图1第届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解29第5页共6页2sinsin13cos（9）解以上各式得20(12cos)Jmv（10）2Ax0sinvv（11）Ay0sincosvv（12）2Bx0sinvv（13）By0v（14）Cy0sincosvv（15）按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A(也可能球)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动.若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，BA、和三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动.为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心BCP的速度2AxBxCxPx02sin33mmmmvvvvv（16）AyByCyPy03mmmmvvvv（17）这时系统质心的坐标为Pcosxl（18）P1sin3yl（19）不难看出，此时质心P正好在球的正下方，至球B的距离为BPy，而球B相对质心的速度2BPxBxPx01sin3vvvv（20）yBPy0v（21）可见此时球的速度正好垂直，故整个系统对质心转动的角速度BBPA0sinBPxPylvv（22）O若使球A先于球与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过角，即杆Bπ/2AB至少转到沿y方向，如图2所示.系统绕质心转过所需时间π/21π2t（23）在此时间内质心沿x方向向右移动的距离Pxxtv（24）xPBC图2第29届全国中学生物理竞赛复赛第三题另解若PyxxP（25）则球先于球BA与挡板碰撞.由以上有关各式得3arctan1（26）即36(27)评分标准：本题25分.（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.第6页共6页