(一)数学竞赛的的内容与方法

（二）数学竞赛的的内容与方法1数学竞赛的的基本认识1-1数学竞赛的界定数学竞赛（或数学奥林匹克）是通过数学内容而进行的教育活动，它为为学有余力的学生提供才华展示与个性发展的广阔空间．数学竞赛教育活动的特点是：以开发智力为根本目的，以问题解决为基本形式，以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育．1-2数学竞赛教育活动的性质数学竞赛教育活动的性质有4条：较高层次的基础教育，开发智力的素质教育，生动活泼的业余教育，现代数学的普及教育．（1）较高层次的基础教育数学竞赛的教育，其对象是中学生，其教育的载体是中学生可以接受的竞赛数学，因此它是基础教育，虽然内容常有大学数学的背景，教练亦不乏大学教师，但这只是提高了教育的层次，而没有脱离基础教育的范围．如果对高中数学教育按照“因材施教”的原则进行分层，那么可以有循序渐进的三个水平：毕业水平、高考水平、竞赛水平．毕业水平主要是掌握作为现代公民必须具备的数学基础知识和数学基本技能；高考水平是各极科技人才应当具有的数学素质与创造能力；竞赛水平是高级科技人才应当具备的数学素质与创造能力．竞赛水平没有脱离基础教育的目标，但作为较高层次的基础教育则更便于产生科技领袖，起着提高精英与普及大众之间的平衡作用．应该看到，用“相同的教育对待所有学生是不公平的”，让“不同的人在数学上得到不同的发展”，就需要承认基础教育中的“竞赛水平”．虽然竞赛教育的层次比较高，但不是超前学习大学知识，也不是职业数学工作者的专业培训，更不是大学预科，而只是要充分开发中学生的思维潜能，学会“数学地思维”．同时也提供空间，让一部分学生在其最近发展区内得到最大的发展．（2）开发智力的素质教育因为数学竞赛是一种智力竞赛而不是单纯的知识竞赛（媒体举办所谓“智力竞赛”大多只是记忆比赛），所以竞赛教育也只能是实施智能教育、数学素质教育，而不是单一的知识教育或片面的升学教育．求解竞赛题离不开扎实的基础知识，但当命题者把问题解决的情节或数学家的前沿成果变为中学生可以接受的竞赛试题时，主要的不是检查学生是否掌握了这种知识，而是要考察学生对数学本质的洞察力、创造力和数学机智，只有那些综合而灵活的运用知识的选手才有希望成为竞赛的佼佼者．许多平时靠死记硬背而得高分的学生往往在竞赛中成绩欠佳也说明，数学竞赛对选手的数学素质有高要求．无疑，数学竞赛应当造就IMO的金牌选手，并且选拔尖子人才也确实是数学竞赛的一个直接目的．但是，这项活动的更深刻的教育价值远远不止于此，环绕着竞赛的培训、选拔、赛题解答和赛后研究，广大的青少年都得到思维上的训练与提高；而且这种思维能力的发展，其作用也不仅限于数学，如果理解数学对于自然科学和社会科学的基础作用，如果认识到任何一门科学只有与数学相结合才能更加成熟和完善的话，那么完全可以说，数学竞赛对于开发智力的作用是其他学科竞赛所不能代替的．因此，竞赛培训中的单纯考试目的，以及庸俗的“题型覆盖”和冲动的功利取向都是开发智力的宗旨背道而驰．竞赛教育要造就高层次的千军万马，让千军万马去涌现金牌选手，而不是为了几个金牌选手而牺牲千军万马．数学竞赛不是通往社会上层的阶梯，而是通向智慧的道路．从这个意义上说，数学竞赛不是“解难题的竞赛”，虽然数学竞赛中确有颇具挑战性的题目，但那只是选手们面对挑战而进行数学素质的较量，重在激发好奇心而非好胜心．同样，日常的竞赛培训也应是提高数学素质和兴趣的培训，而不是搞成一味解难题的培训．（3）生动活泼的业余教育竞赛教育是为学有余力的学生提供的个性发展和特长展示的一种业余教育，它以“第二课堂”为主要形式．一般说来，没有升学或分数排队的压力，没有教学范围、教学进度、教学课时的呆板限制，学生又大都怀有浓烈的兴趣．因此，十分有利于实施“愉快教育”、进行生动灵活的教学，教学方法可以灵活、教学内容可以灵活、教师聘用和教学进度也都可以灵活，教师可以充分发挥自己的业务专长与教学风格，教学可以根据反馈随时间调节信息的速度、强度、顺序和数量．各个学校的教师优势可以集中，每个同学不仅可以听、可以讲，而且可以写作小论文、开展探究性学习．这是一个教学的开放系统，片面、单一、封闭全都被打破了，从而也就为学有余力的学生提供了自主发展和充分表现的广阔天地．由于竞赛教育的基础性质、智力目的和生动形式，使得它不仅是日常教学的延伸与补充，而且也是课堂教学的优化与改革；不仅是部分学生的第二课堂，而且更是尖子学生的第二学校．情况表明，“课内打基础、课外育特长”，尖子学生的数学基础是在第一课堂准备的，而最大潜力则常常在第二课堂才展现出来（第一课堂和第二课堂都是基础教育的课堂）．虽然，许多参加培训的学生将来并不以数学为职业，但他们从竞赛教育的业余培训中所获得的洞察力和创造机智将受益终生．（捧“金牌”，获“保送”的选手是极少数的，这点“现实利益”不足说明一代又一代的青少年为什么乐此不疲的投身到这一活动中来的动机与收获）（4）现代数学的普及教育．历史已经昭示，未来将进一步证实，高科技的本质是一种数学技术，扫除“数学盲”的任务必将代替扫除“文盲”的工作．数学不仅是一门科学、一项艺术、一种语言，一种技术，而且也是一种文化．数学竞赛最深刻的历史作用，可能不在于造就几个数学领袖，而在于普及数学文化，中学教材所提供的基本上是历史的数学或数学的历史，而数学竞赛可以提供“今天的数学”或“数学的今天”．许多体现现代思维与高等背景的活数学正是通过竞赛的桥梁输送到中学校园的，当它们经过“初等化”、“特殊化”、“具体化”、“通俗化”而来到青少年中间时，主要地不是作为一种高深的理论，而是作为一种朴素的思想，一种先进的文化在幼小的心灵中播种．数学竞赛是一项群众性的科普活动！众所周知，集合的思想、映射的特点、构造的方法以及奇偶分析、抽屉原理、染色问题等，在一二十年前还是一种时髦，而今已经是普通选手的常识了．这就是普及！奥林匹克数学虽然比高考数学还高，但当数学竞赛中出现的内容为越来越多的中学师生所熟悉和掌握时，它就完成了奥林匹克使命，而成为中学数学（包括高考数学）的一部分，这就是一种普及、一种传播．近年来，中学教材的变化以及中考、高考试题的新亮点，已经出现了这种普及与传播的成果．由于数学竞赛是不断吐故纳新的，由于现代数学的不断为数学竞赛提供新的内容和新的方法，所以数学竞赛对于数学的普及与传播也永远不会完结．2数学竞赛的的基本内容国际数学竞赛的开展导致了竞赛数学的诞生，竞赛开始的那些年头，其内容主要是中学教材中的代数方程、平面几何、三角函数，经过40多年的发展，已形成一个源于中学数学又高于中学数学的数学新层面，其思想方法逐渐与现代数学的潮流合拍．对1~51届IMO试题（1959~2010）的统计表明，竞赛数学正相对稳定在几个重点内容上，可以归结为四大支柱、三大热点．四大支柱是：代数，几何，初等数论，组合初步（俗称代数题、几何题、算术题和智力题）．三大热点是：组合几何、组合数论、集合分拆．2-1代数代数是中学数学的主体内容，其在竞赛中占据重要地位是理所当然的，已广泛涉及恒等变形、方程、函数、多项式、不等式、数列、复数、函数方程、矩阵等方方面面．近年的重要特点是：（1）出现集中的趋势．统计表明，近30年来，难度较小的问题（如恒等变形、单一的解方程等）消失了，明显超出中学范围的问题（如矩阵等）也消失了，代数问题正在不等式、数列、函数方程上集中．这表明IMO代数题的命题趋向是，既在努力避开有求解程式的内容、提高试题的难度，又在尽力避免超出中学生的知识范围，而在思维的灵活性、创造性上做文章．（2）运算与论证的综合．中学代数偏重于运算，并且常常有程序化、机械化的优势（运算可以看成是机械化的推理）．作为高层次的竞赛，停留在运算的熟练和准确上是不够的，因而IMO的代数题常以抽象论证的面目出现，并且时间也允许进行大数字、多字母、多环节的硬运算．一方面精确的演算为推理提供论据，另一方面论证推理又提出演算的需要、两者相辅相成．从理解题意开始，到运算结构的分析、运算阶段的连接，乃至整个解题程序的调控，都有运算与论证的交互推进．这构成了IMO代数题的一个发展趋势，也体现着代数思维的一般性和从过程到对象（凝聚）等特征．（预赛表明，是我们的一个弱点）（3）与数论、组合、几何的交叉．代数知识在各个学科中都有基础的作用，无论哪一门中学数学分支都少不了代数运算．IMO试题避开常规代数题的同时，正在加强与各个学科的综合，不等式不仅有大量的数列不等式、最优化背景不等式，而且有越来越多的几何不等式、数论不等式、组合不等式；方程知识也在数论问题、几何问题或其他离散问题中屡屡出现．2-2几何欧几里得的几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值（许多科技工作者由此而启蒙），因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO的届届必考的内容，少则1题，多则2~3题．我国高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年必有平面几何题．IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主．立体几何题从第22届（1981）开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难．（1）几何题的内容．IMO的平面几何数量较多、难度适中、方法多样，可以分成三个层次．第一层次，是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．第二层次，是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．第三层次，是组合几何．这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及局的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．（2）解几何题的方法．IMO中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类：①综合几何方法：如全等法、相似法、面积法等；②代数方法：如代数计算法、复数法、坐标法、三角法、向量法等；③几何变换方法：如平移、旋转、反射、位似、反演等．2-3初等数论初等数论也叫整数论，其研究对象是自然数．由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，因而，历来都是竞赛的重点内容．如果说代数、几何离中学教材还比较近的话，那么初等数论则位于中学教材未系统介绍、而中学生（特别是优秀中学生）又不是不能接受这样一种思维发展区中，其在培养数感（数的意识）和发现数学才华方面有独特的功能，正在与组合数学相融合而成为数学竞赛的一个热点题源（组合数论）．它还有一个优势是，能方便提供从小学到大学的各层次竞赛试题，“奇偶分析法”也成了从小学到大学都使用的数学奥林匹克技巧．数学竞赛中的数论问题广泛涉及奇数与偶数、约数和倍数（素数与合数）、平方数、整数、同余、不定方程、数论函数[x],数的进位制等内容．2-4组合初步数学竞赛中的组合数学不是一个严格的概念，它离中学教材最远，通常指中学代数、几何、算术（数论）之外的内容（俗称杂题）．对中学生而言，这类问题的基本特点是不需要专门的数学语言就可以表述明白，解决起来也没有固定的程式（非常规），常需精巧的构思．从内容上可以归结为两大类：组合计数问题，组合设计问题．（1）组合计数问题这包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明．知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等．（2）组合设计问题其基本含义是，对有限集合A，按照性质p来作出安排，有时，只是证实具有性质p的安排是否存在、或者言重作出的安排是否具有性质p（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则