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第二届中国数学奥林匹克(1987年)1.设n为自然数，求方程zn+1-zn-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。试求(1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。(2)所有结点上数的总和S。3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1,S2,S3,S4分别是以A1,A2,A3,A4为球心的球，它们两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1,S2,S3,S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。