1990年全国初中数学联合竞赛试卷

1990年全国初中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1．31231131144的值是（）（A）1（B）－1（C）2（D）－22．在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数是（）（A）小于90°（B）等于90°（C）大于90°（D）不确定3．方程kkkxkx(02)13(722是实数)有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是（）（A）3＜k＜4；（B）－2＜k＜－1；（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1（D）无解。4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（）（A）17（B）18（C）35（D）365．△ABC中，22AB，2AC，2BC，设P为BC边上任一点，则（）（A）PBPA2·PC（B）PBPA2·PC（C）PBPA2·PC（D）PBPA与2·PC的大小关系并不确定6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（）（A）不存在（B）只有一个（C）有有限个，但不只一个（D）有无穷多个7．若balog的尾数是零，且2loglog1logabbbaa，那么下列四个结论：（）（1）21abb（2）0loglogabba（3）10ba（3）01ab中，正确的结论的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）48．如图，点P，Q，R分别在△ABC的边上AB、BC、CA上，且1RCQRPQBP，那么，△ABC面积的最大值是（）（A）3（B）2（C）5（D）3二、填空题1．已知82121xx，则xx12=2．2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是3．方程01)8)((xax，有两个整数根，则a4．△ABC中，2ACAB，BC边有100个不同的点1P，2P，…，100P，记iiiBPAPm2·CPi(i1，2，…，100)则21mm…100m=第二试一、已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°－2，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE二、x表示不超过实数x的最大整数，令xxx（1）找出一个实数x，满足11xx（2）证明：满足上述等式的x，都不是有理数三、设有nn22个正方形方格棋盘，在其中任意的n3个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出n行和n列，使得n3枚棋子都在这n行和n列中。1990年全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一、选择题1．（D）原式=312312=2232223222．（D）如图，由BDAD2·CD，有2BDAD22·CD2222ADCDBD＝BDCDBD222·CD)()(2222CDADADBD＝2)(CDBD即222BDACAB可得∠BAC＝90°如图,虽然BDAD2·CD,D点在△ABC外,∠ABC＞90°,∠BAC＜90°因此∠BAC的度数不确定3.（C）记2)13(7)(22kkxkxxf由124303)2(082)1(02)0(222kkkkfkkfkkf或4.（A）高这35个连续自然数最小的是2n,最大的是1)1(2n∴35)1(2nn即3512n∴17n5.（C）如图,设xBP,xPC2,在△ABP中,由余弦定理,有ABBPABPA2222·BPcosBBxxcos2482在△ABC中,由余弦定理,有2222)2(2)22(cos222B8252810∴8522xxPA而22)2(xxxxPCPB令222285xxxxPCPBPAy0815)47(287222xxx∴PCPBPA26.（D）若能找到6个整数,,21aa…,,6a使满足（1）21aa…206a；（2）1a≤2a，21aa≤3a，32aa≤4a；43aa≤5a，54aa≤4a；（3）54321aaaaa＞6a．则以,,21aa…6,a为边长的六边形，即可符合要求．事实上，对任选三整数1≤i＜j＜k≤6，必有jiaa≤ka，可见此六边形的任三边不能构成一个三角形．现取8,5,3,2,1654321aaaaaa，则4321,,,aaaa,65,aa满足全部条件.故这样的六边形至少存在一个.又由n边形(n≥4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7.(A)由bbbbaaaalog21loglog1log得.所以balog0得0log1,11,1ababab且或,所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结论(1)中,若2.1.1,1ababbb得从而得.所以结论(1)也是错误的.这样,只有结论(4)是正确的.事实上,由2loglogabaa,可得bababalog1log2log21又因为0log2,4)(log,0log2bbbaaa即所以.018)8(2axaxCPBPAPmiiii2因为balog为整数,所以balog=-1,即1,1abab从而,结论(4)正确.8.(B)首先,若以Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ分别记PQRCRQBPQAPR,,,,则SⅡ,SⅢ,SⅣ均不大于211121.又因为ACBPQR)(180,所以易证:2h≤1h(1h,2h分别为APRQRP,公共边PR上的高,因若作出△PQR关于PR的对称图形PQ’R，这时Q’，A都在以PR为弦的含∠A的弓形弧上，且因PQ’=Q’R，所以Q’为这弧中点，故可得出h1≤h2）。从而1S≤SⅣ≤21，这样ABCS=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SN≤2214最后，当AB=AC-2，∠A=90°时，S△ABC=2即可以达到最大值2。二．填空题1．622．5因123456789=10×12345678+9所以所求数字等于（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即5×8+5=45的个位数的数字，故所求数字为5。3．8原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1)∴所以a=84．400作AD⊥BC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi=x,则.4))((2222222ACyADyxAPyxxyAPii∴40010021mmm.第二试.622)(11221212xxxxxx一.证明如图,连BD,CE.因CDEBCDCDEBCDDECDBC2180.DECDCECDBCBD.∴3180)2180(BCE又∵3BAE,共圆共圆同理可证共圆EDCBAEDBAECBA,,,,,,,,,,DAECADBAC.二.解法1设0,,(1,为整数nmnxmx≤)1,,若{x}+{x1}=α+β=1∴11nmnmxx是整数。令),(1为整数kxx即012kxx解得).4(212kkx当1,2xk时易验证它不满足所设等式。当k≥3时，)4(212kkx是满足等式的全体实数。由于42k不是完全平方数（事实上，若224hk则422hk但当k≥3时，两个平方数之差不小于5）。所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数。解法2（1）取)53(21x或)53(21x（2）用反证法证明之。反设满足等式之x为有理数。首先，若x为整数，则{x}=0，代入等式得{x1}=1，与0≤{x1}1矛盾。其次，若x为非整数的有理数。令pqnx（其中n，p，q均为整数1.≤q≤p且（q，p）=1）则qnprxx1(其中s,r为整数当n≥0时0≤rnp+q当n≤-1时,np+qr≤0){x1}=qnpr若x满足等式，即1qnprpq即)()(qnppprqnpq.从而得])1([2rqnnppq.即1),(,2qpqp与整除矛盾.故满足等式之x都不是有理数.三.证明设各行的棋子数分别nnnPPPPP2121,,,,.且1P≥2P≥…≥nP≥1nP≥…≥nP2.由题设,32121nPPPPPnnn①选取含棋子数为,,,21nPPP的这n行,则nPPP21≥n2,否则,若nPPP21≤12n,②则nPPP,,21中至少有一个不大于1,由①,②得nnPP21≥1n,从而nnPP21中至少有一个大于1,这与所设矛盾.选出的这n行已含有不少于2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部3n枚棋子.