1991年中国数学奥林匹克试题

第六届中国数学奥林匹克(1991年)1.平面上有一凸四边形ABCD。i.如果平面上存在一点P，使得ΔABP、ΔBCP、ΔCDP、ΔDAP面积都相等，问四边形ABCD应满足甚么条件？ii.满足(i)的点P，平面上最多有几个？证明你的结论。2.设I=[0,1]，G={(x,y)|x、y为I的元素}，求G到I的所有映像f，使得对I的任何x、y、z有i.f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))；ii.f(x,1)=x，f(1,y)=y；iii.f(zx,zy)=zkf(x,y)。这里，k是与x、y、z无关的正数。3.地面上有10只小鸟在啄食，其中任意5只小鸟中至少有4只在一个圆上，问有鸟最多的圆上最少有几只鸟？4.求满足方程x2n+1-y2n+1=xyz+22n+1的所有正整数解组(x,y,z,n)，这里n≧2，z≦5×22n。5.求所有自然数n，使得min自然数k(k2+[n/k2])=1991。这里[n/k]表示n/k的整数部份。6.MO牌足球由若干多边形皮块用三种示同颜色的丝线缝制而成，有以下特点：i.任一多边形皮块的一条边恰与另一多边形皮块同样长的一条用一种六色的丝线缝合；ii.足球上每结点，恰好是三个多边形的顶点，每一结点的三条缝线不相同。求证：可以在MO牌足球的每一结点上放置一个不等于1的复数，使得每一多边形的所有顶点上放置的复数的乘积都相等。