1992年中国数学奥林匹克试题

第七届中国数学奥林匹克(1992年)1.设方程xn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1。已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|1，试证：λn+1=1。2.设x1,x2,...,xn为非负实数，记xn+1=x1，a=min{x1,x2,...,xn}，试证：nΣi=11+xi_1+xi+1≦n+1(1+a)2nΣi=1(xi-a)2，3.且等式成立当且仅当x1=x2=...=xn。4.在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？5.凸四边形内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另一点Q，且O、P、Q三点两两不重合。试证∠OQP=90。6.在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？7.已知整数序列{a1,a2,......}满足条件：1.an+1=3an-3an-1+an-2，n=2,3,.....。2.2a1=a0+a2-2。3.对任意的自然数m，在序列{a1,a2,......}中必有相继的m项ak,ak+1,...,ak+m-1都为完全平方数。试证：序列{a1,a2,......}的所有项都是完全平方数。