1996年中国数学奥林匹克试题

第十一届中国数学奥林匹克(1996年)1.设H是锐角△ABC的垂心，由A向BC为直径的圆作切线AP、AQ，切点分别为P、Q。求证：P、H、Q三点共线。2.设S={1,2,...,50}，求最小自然数k，使S的任一k元素中，都存在两个不同的数a和b，满足(a+b)整除ab。3.设R为实数集合，函数f：R→R适合条件f(x3+y3)=(x+y)(f(x)2-f(x)f(y)+f(y)2)，x、y为实数。试证：对一切实数x，都有f(1996x)=1996f(x)。4.8位歌手参加艺术会，准备为他们安排m次演出，每次由其中4位登台表演。要求8位歌手中任意两位同时演出的次数都一样多，请设计一种方案，使得演出的次数m最少。5.设n为自然数，，且。求证：。6.在△ABC中，∠C=90。，∠A=30。，BC=1，求△ABC的内接三角形(三顶点分别在三边上的三角形)的最长边的最小值。