1997年中国数学奥林匹克试题

第12届中国数学奥林匹克（1997年）一、设实数x1,x2,…，x1997满足如下两个条件：..3318)2();1997,,2,1(331)1(1219971221211997211的最大值，并说明理由试求：xxxxxxix二、点P是凸四边形内一点，且P到各顶点的连线与四边形过该点的两条边的夹角均为锐角.递推定义Ak、Bk、Ck和Dk分别为P关于直线Ak-1Bk-1、Bk-1Ck-1、Ck-1Dk-1、和Dk-1Ak-1的对称点（k=2,3,……）.考察AjBjCjDj(j=1,2,……).试问：(1)前12个四边形中，哪些必定与第1997个相似，哪些未必；(2)假设第1997个是圆内接四边形，那么在前12个四边形中，哪些必定是圆内接四边形，哪些未必.三、求证存在无穷多个正整数n，使得可将1，2，…，3n列成数表a1a2…anb1b2…bnc1c2…cn满足如下两个条件：（1）a1+b1+c1=a2+b2+c2=…=an+bn+cn且为6的倍数；（2）a1+a2+…+an=b1+b2+…bn=c1+c2+…+cn且为6的倍数.四、四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E、F.求证：P、E、F三点共线.五、设A={1，2，3，…，17}，对于映射)))((()(),()(,:]1[]1[NkxffxfxfxfAAfkk记.设从A到A的一一映射f满足条件存在自然数M，使得：).17mod11)17()1(),17mod11)()1(161)2().17(mod1/)17()1(),17(mod1/)()1(161,)1(][][][][][][][][（或（或时，有当时，有当MMMMmmmmffifififfififiMm试对满足上述条件的一切f，求所对应的M的最大可能值，并证明你的结论.六、设非负数列a1,a2,……满足条件.,,Nnmaaamnnm求证：对任意.)1(1mnamnmaamn均有