2000年中国数学奥林匹克试题

第15届中国数学奥林匹克（2000年）一、设a,b,c为△ABC的三条边，a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内接圆半径。令f=a+b-2R-2r,试用C的大小来判定f的符号.二、数列{an}定义如下：.3),21()1()1(2121,1,02121nnannnaaaannnn试求1122211)1(32anccnacacafnnnnnnnnnn的最简表达式.三、某乒乓俱乐部组织交流活动，安排符合以下规则的双打赛程表，规则为：（1）每个参赛者至多属于两个对子；（2）任意两个不同对子之间至多进行一次双打；（3）凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇.统计各人参加的双打次数，约定将所有不同的次数组成的集合为“赛次集”.给定由不同的正整数组成的集合A={a1,a2,…，ak},其中每个数都能被6整除.试问至少必须有多少人参加活动，才可以安排符合上述规则的赛程表，使得相应的赛次集恰为A，请证明你的结论.四、设n≥2.对n元有序实数组A=（a1,a2,…,an）,令),,2,1(,1maxnkakibik.称B=(b1,b2,…,bn)为A的“创新数组”；称B中的不同元素个数为A的“创新阶数”.考察1，2，…，n的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为2的所有排列，求它们的第一项的算术平均值.五、若对正整数n，存在k，使得n=n1n2…nk=－1，其中n1，…，nk都是大于3的整数，则称n具有性质P.求具有性质P的所有数n.六、其次考试有5道选择题，每题都有4个不同答案供选择，每人每题恰选1个答案，在2000份答卷中发现存在一个n，使得任何n份答卷中都存在4份，其中每两份的答案都至多3道相同.求n的最小可能值.