2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛-7.-2003年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题...................................................................12002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题.......................................................................42002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛................................................................................82003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题..................................................................112004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题......................................................................132004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题.....................................................................162000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题一、填空题(每小题7分，共70分．)1．如图，已知□ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G．若BE＝5，EF＝2，则FG的长是．2．有四个底面都是正方形的长方体容器A、B、C、D，已知A、B的底面边长均为3，C、D的底面边长均为a，A、C的高均为3，B、D的高均为a，在只知道a≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和3，若n的十进位制表示为99……9(20个9)，则n3的十进位制表示中含有数码9的个数是．4．在△ABC中，若AB＝5，BC＝6，CA＝7，H为垂心，则AH的长为．5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m，则m的取值范围是．6．若关于x的方程|1-x|＝mx有解，则实数阴的取值范围是7．从1000到9999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有个．8.方程43xy1-y1x12的整数解(x，y)＝9.如图，正△ABC中，点M、N分别在AB、AC上，且AN＝BM，BN与CM相交于点O．若S△ABC＝7，S△OBC=2则BABM=10.设x、y都是正整数，且使100x116-x＝y。则y的最大值为二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．三、(16分)(1)在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列．若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论．(2)如果把上题中的“4×4方格纸”改成“n×n的方格纸(n≥5)”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格?证明你的结论四、(18分)如图，ABCD是一个边长为l的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛参考答案a-11b+10c+d=0，11b=a+10c+d．(1)又依题意9a+b=a+b+c+d，8a=c+d．代入(1)得11b=9(a+c)．(2)且由c+d≤18，知a=l或2．于是，由式(2)得b=9，a=2，c=9．进而由8a=c+d，得d=7．故所求的四位数是2997．三、(1)至少要涂7个小方格．若涂色格数≤4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去．若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂色，故画去2行至少能画去4格涂色小方格，剩下涂色格数不超过2，再画去2列必能将它们画去．按图(1)涂色7格，则画去2行至多画去4格涂色的小方格，且剩下的涂色小方格位于不同的3列，再画去2列不能将它们全部画去．(2)至少要涂5个小方格．这是因为，若涂色格数≤4，则画去2行、2列必能将它们全部画去．按图(2)涂色5格，则任意画去2行、2列必有涂色小方格没有画去．2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题第一试(本试卷共l5题，l-5题每题65分，6～10题每题8分，11～15题每题10分，满分120分)1．已知a=1.1，b=1．10.9，c=0．91.1，则将a、b、c从小到大排列，并用“表示是2.若，则a的值是．3．已知a为无理数，且，则ba的值为．4．由y=||x|-1|的图像与y=2的图像围成的图形的面积是．5．三角形的三条边a、b、c满足1≤a≤3≤b≤5≤c≤7，当此三角形的面积最大时，它的周长是．6．方程2002111yx的正整数解构成的有序数组(x，y)共有组．7．如图，在△ABC中，F、G是BC边上的两点，使∠B、∠C的平分线BE、CD分别垂直AG，AF(E、D为垂足)．若△ABC的周长为22，BC边长为9，则DE的长为．8．已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a为正整数)经过点A(-1，4)与点B(2，1)，且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为．9．如图，点P、Q在△ABC的AC边上，且AP：PQ：QC=1：2：3，点R在BC边上，且BR：RC=1：2，AR与BP、BQ分别相交于D、E，则SPQED：S△ABC=．10．整数x、y满足5x2+y2+4xy+2410x，则x+y的值是．11．设abcd是一个四位数，且满足a+b+c+d=ab=c·d(ab表示为两位数)，则具有上述性质的最大四位数是．12．已知m、n是正整数，且m≥n．由5mn个单位正方体组成长、宽、高顺次为m、n、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组(m、n)=13．在△ABC中，点D、E、F顺次在边AB、BC、CA上，设AD=p·AB，BE=q·BC，CF=r·CA，其中p、q、r是正数，且使p+q+r=2/3，p2+q2+r2=2/5，则S△DEF：S△ABC=．14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，(x-a)(x-2002)-2=(x-b)(x-c)都成立，则这样的有序数组(a，b，c)共有组．15．如图，I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，则用m、n表示S△ABC=．4．7y=||x|—l|的图像与y=2的图像，如图所示，阴影部分即是所围成的图形，它可看作一个等腰直角三角形挖去一个正方形．因此，该图形面积为7．5．8+34欲使三角形面积最大，可让a取最大值3，b取最大值5，夹角取90°．此时c=34满足5≤c≤7，周长为8+34．6．81将已知方程变形，得2002(x+y)=xy，(x-2002)(y-2002)=20022．∵x、y都是正整数，∴x-2002、y-2002都是整数，且都大于-2002．现这两整数之积为20022，故这两整数为同号，且至少有一个的绝对值不小于2002．因此，x-2002与y-2002必都是20022的正约数，而已知方程的正整数解(x，y)可写成(2002+d，2002+20022/d)，这里d为20022的正约数．20022=22×72×112×132，∴20022的正约数有34=81个，从而已知方程的正整数解(x，y)共有81个．7．2由题设易证D、E分别是AF、AG的中点，且BA=BG，CA=CF．设DE=x，则FG=2x．BC=BG+CF-FG=AB+AC-2x=(22-BC)-2x．但BC=9，故x=2，即DE=2．8．-4抛物线y=ax2+bx+c，经过点A(-1，4)与点B(2，1)a-b+c=4，且9．5/24如图，过P、Q分别作BC的平行线，交AR于点X、Y，由题设及相似三角形易得BE/EQ又由题设知n≥2，将n=2，3，4，5代入方程计算，只有当n=3、4时，m为正整数，对应的解是16、6．∴有序数组(m，n)=(16,3)：(6,4)．14．(2001，2002，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，2004)，(2003，2004，2001)．展开已知等式的左边，得x2-(a+2002)x+2002a-2=(x-b)(x-c)．它对一切实数x成立，．b、c即是二次方程x2-(a+2002)x+2002a-2=0(*)的两个整数根，又a为整数，故判别式△=(a+2002)2-4(2002a-2)=(a-2002)2+8是完全平方．令(a-2002)2+8=n2，这里n为正整数，n|a-2002|．于是有(n+a-2002)(n-a+2002)=8，解得n=3，a=2001或2003；从而方程(*)的两根为21[(a+2002)±3]．当a=2001时，方程(*)的两根为2000，2003；当a=2003时，方程(*)的两根为2001，2004．故满足条件的有序组(a，b，c)共有如下4组：(2001，2000，2003)，(2001，2003，2000)，(2003，2001，21304)，(2003，2004．2001)．【另解】连IA、IB、IC，则IA、IB、IC分别是△ABC三内角平分线，于是易得AE=EI=m，BF=FI=n．又由内角平分线性质，可令2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛一、填空题(1～5题每小题6分，6～10题每小题8分，共70分)1．在2002当中嵌入一个数码组成五位数20□02．若这个五位数能被7整除，则嵌入的数码“□”是．2．若实数a满足a3aa2，则不等式x+a1－ax解为．3．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A’处，第二次过A’再折叠，使折痕DE∥BC若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．4．已知关于正整数n的二次式y=n2+an(n为实常数)．若当且仅当n=5时，y有最小值，则实数n的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，O)、B(0，10)、C(－10，O)、D(O，－10)，则该正方形内及边界上共有个整点(即纵、横坐标都是整数的点)．6．如图，P为△ABC形内一点，点D、E、F分别在BC、CA、AB上．过A、B、C分别作PD、PE、PF的平行线，交对边或对边的延长线于点X、Y、Z．若31,41BYPEAXPD，则CZPF=7．若△ABC的三边两两不等，面积为315，且中线AD、BE的长分别为1和2，则中线CF的长为8．计算：500099009999...500010050002002250001001122222222kkk9．若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4，则(x+y)(y+z)的最小可能值为lO．若关于x的方程cxx3121422恰有两个不同的实数解，则实数a的取值范围是．二、(16分)已知p为质数，使二次方程x2－2px+p2－5p－1=0的两根都是整数．求出p的所有可能值．三、(16分)已知△XYZ是直角边长为l的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的3个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上．求△ABC直角边长的最大可能值．四、(18分)平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7点中的任意3点必存在2点有线段相连．问至少要连多少条线段?证明你的结论．四、(1)若7个点中，有一点孤立(即它不与其他点连线)，则剩下6点每2．点必须连线，此时至少要连15条．(2)若7点中，有一点只与另一点连线，则剩下5点每2点必须连线，此时至少要连11条．(3)若每一点至少引出3条线段，则至少要连21/2条线段．由于线段数为整数，故此时至少要连11条．(4