2002年全国初中数学竞赛试题及答案

2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则baba的值为【】A、3B、6C、2D、32．已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为【】A、0B、1C、2D、33．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于【】A、65B、54C、43D、32ABCDEFG4．设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋3，y＝b2－2c＋3，z＝c2－2a＋3，则x、y、z中至少有一个值【】A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于05．设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是【】A、72＜a＜52B、a＞52C、a＜72D、112＜a＜06．A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于【】A、22baB、22babaC、ba21D、a＋b二、填空题7．设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。8．已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则bcca的值为。9．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。ABCP10．如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为cm2。ABOOOO1234O11．满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有个。12．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。三、解答题13．某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14．如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：ECACEDQD（2）求证：22CEACPECPABCDEFPQ16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？ABCDEFG2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题5分，共30分）1.设a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，则baba的值为（）。A、3B、6C、2D、3答案：A.由题意:0，且2baba===3。2.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值为()。A、0B、1C、2D、3答案：原式=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=[1+1+4]=3。3.如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于()。A、65B、54C、43D、32答案：设S矩形ABCD=1。因为E、F是矩形ABCD中边AB、BC的中点，所以SΔGCF=SΔGBF，设为x；SΔGAE=SΔGBE，设为y。则,得2x+2y=.所以S四边形AGCD=.从而S四边形AGCD∶S矩形ABCD=2∶3.4.设a、b、c为实数，x＝a2－2b＋3，y＝b2－2c＋3，z＝c2－2a＋3，则x、y、z中至少有一个值()。A、大于0B、等于0C、不大于0D、小于0答案：由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-30,所以x、y、z中至少有一个大于0.5.设关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是()。A、72＜a＜52B、a＞52C、a＜72D、112＜a＜0答案：由题知:(x1-1)(x2-1)0,即x1x2-(x1+x2)+10,代入韦达定理并整理得0,可知选(A).6.A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a，A1A3＝b，则A1A5等于()。A、22baB、22babaC、ba21D、a＋bABCP答案：.延长A1A2和A5A4相交于P,连结A2A4.易证:ΔPA1A5和ΔPA2A4均为正Δ,且PA2=A2A4=A1A3=b。所以A1A5=PA1=a+b.二、填空题（每小题5分，共30分）7.设x1、x2是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。答案：由Δ=(a-2)2+40知a为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤-.8.已知a、b为抛物线y＝(x－c)(x－c－d)－2与x轴交点的横坐标，a＜b，则bcca的值为。答案：由题知:(a-c)(a-c-d)-2=0,(b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的两实根.所以(a-c)(b-c)=-20.而ab,即a-cb-c.所以a-c0,b-c0.所以原式=b-a.9.如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝。答案：易证:ΔPAB∽ΔBCP,所以=,得PB=410.如图，大圆O的直径AB＝acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的ABOOOO1234O面积为cm2。答案：设⊙O3的半径为x,则O1O3=+x，O1O=,O3O=-x.所以(+x)2=()2+（-x）2,解得x=,易得菱形O1O3O2O4的面积为a2.11.满足(n2－n－1)n＋2＝1的整数n有个。答案：由题设得n2-n-1=±1,有5个根:0,1,-1,2.和-212.某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为。答案：设成本为a,则a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.三、解答题（每小题20分，共60分）13.某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，433天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，762天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？答案：设单独完成,甲、乙、丙各需a、b、c天.则解得a=4,b=6,c=10（c7,舍去).又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为x、y、z(元),则160000)(720150000)(315180000)(512xzzyyx解得x=45500,y=29500,所以甲4天完成的总费用为182000元,乙6天完成的总费用为177000元,所以由乙承包.14.如图，圆内接六边形ABCDEF满足AB＝CD＝EF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。(1)求证：ECACEDQD（2）求证：22CEACPECP答案：(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2,所以ΔACE∽ΔQDE.可得结论成立.(2)分析:易证∠6=∠4,所以FC∥ED,所以=ABCDEFPQ所以只需证=,由(1)有=。所以只需证=,即QD2=CQ×EQ.这只需证ΔCQD∽ΔEQD.而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5,由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD,所以可证得ΔCQD∽ΔEQD.15.如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2＋bx＋c的值都是平方数？答案：(1)由题设知,可分别令x=0、-1、1，得则有c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2均为整数.(其中m、n、k为整数)(2)假设2b为奇数2t+1(t为整数).取x=4得16a+4b+m2=h2(h为整数).因2a为整数,从而16a可被4整除.所以16a+4b=16a+4t+2除以4余2.所以16a+4b为偶数.①又因为16a+4b=(h+m)(h-m).若h、m的奇偶性不同,则16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.若h、m的奇偶性相同,则16a+4b=(h+m)(h-m)能被4整除,从而2b为偶数,这与假设矛盾.所以假设不成立,即2b应为偶数,从而b为整数.所以a=k2+b-c为整数.反之,若a、b、c都是整数,且c是平方数,则对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值不一定是平方数.例如:取a=b=x=c=1,则ax2+bx+c=3,不是平方数.