2003年湖南省高中数学竞赛试卷

2003年湖南省高中数学竞赛试卷（9月6日上午9：00-11：00）注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1.设函数()log(0,1)afxxaa=?，若()1220038fxxx=L，则()()2212fxfx+()22003fx++L的值等于（）A.4B.8C.16D.2log8a2.如图，S-ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面内的一点，若OSAa?，OSBb?,OSCg?，则tantantanabg的取值范围是()A.[22,)+?B.(0,22]C.1,22轾犏臌D.()1,223.某水池装有编号为1，2，3，…，的9个进出口水管，有的只进水，有的只出水。已知所开的水管号与水池装满水所需的时间如下表：水管号1，22，33，44，55，66，77，88，99，1时间（小时）248163162124248496若9个水管一齐开，则灌满水池所需时间为（）A.1小时B.2小时C.3小时D4小时4.若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为（）A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.椭圆或双曲线5.有10个不同的球，其中有2个红球，5个黄球，3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个黄球得1分，取到一个白球得2分，则从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为（）A.90B.100C.110D.1206.自然数按下表的规律排列，则上起第2002行，左起第2003列的数为（）A.22002B.22003C.2002+2003D.2002×2003二、填空题（在每小题中的横线上填上正确答案。本小题共6小题，每小题6分，满分36分）7.设,,xyRÎ，且满足()()()()2003200312002112200221xxyyìï-+-=-ïïíï-+-=ïïî，则xy+=___________;8.满足22sinsinsin23cosxxxx+-=的锐角x=________________;9.记{}min,ab为两数,ab的最小值，当正数x,y变化时，22min,ytxxy禳镲镲=睚镲+镲铪也在变化，则t的最大值为_____________________;10.已知n为自然数，多项式()()01nhhnhnhPxxx-==-åð可展开成x的升幂排列01aax+22nnaxax+++L，则012||||||||naaaa++++=L________________;11.底面边长为a的正三棱柱，被不平行底面的平面所截，其中一块的形状如图所示，剩余的侧棱长分别为123,,hhh，则剩余的几何体的体积为__________________;12.已知a、b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数:12,,,nxxxL;12,,,nyyyL使a,12,,,nxxxL,b成等差数列，a,12,,,nyyyL，b成等比数列，则下列不等式:①11nkkxn=å22abab骣-÷ç÷+ç÷ç÷÷ç桫,②11nkkxn=å2ab+③12nnyyyLab,④12nnyyyL222abab骣+-÷ç÷+ç÷ç÷÷ç桫中成立的有_____________________.三、解答题（每题的解答要有严格的推理过程，本大题共6小题，每小题13分，共78分）13.已知曲线21(0)xyy=在曲线上点00(,)xy处的切线的斜率3012kx=-，过点()11,0P作y轴的平行线交曲线于1Q，过1Q作曲线的切线与x轴交于点2P，过2P作y轴的平行线交曲线于2Q，仿此，不断的这样作图（如图所示），得到点列12,,;PPL12,,QQL，记||nnnlPQ=，求2003l的值。14.设,,xyz均取正数且1xyz++=，求三元函数()222222333,,111xxyyzzfxyzxyz---=+++++的最小值，并给出证明。15.如图，已知四面体ABCD中，,,.ABBCBCCDCDAB^^^（1）指出与面BCD垂直的侧面，并加以证明。（2）若1,ABBCCDx===，二面角C-AD-B的平面角为a，()sinfxa=,求()fx的表达式和a的范围。16.设函数()yfx=的定义域为R，当0x时，()1fx,且对任意的实数,xyRÎ，有()()()fxyfxfy+=成立，数列{}na满足()10af=，且()()112nnfafa+=--()nNÎ.（1）求2003a的值；（2）若不等式1211111121nknaaa骣骣骣÷鼢ç珑÷鼢+++?ç珑÷鼢ç珑鼢÷珑ç桫桫桫Lg对一切nNÎ均成立，求k的最大值。17.甲、乙两网络公司，1996年的市场占有率都为A，根据市场分析和预测，甲公司第n年（1996年为第一年）的市场占有率，乙公司自1996年起逐年的市场占有率都有所增加，其规律如图所示。A12nA-4A2A（第n-1年第n年1998（第3年）1997(第2年)1996(第1年)(1)观察图形，求出乙公司第n年的市场占有率表达式；(2)根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20％，则该公司将被另一公司兼并。经计算，2015年以前，不会出现兼并局面。试问2015年是否会出现兼并局面，并说明理由。18.求平面上的满足条件：（1）三角形的三个顶点都是整点，坐标原点为直角顶点；（2）三角形的内心坐标()96,672Mpp为，其中p为素数的直角三角形的个数。2003年湖南省高中数学竞赛试卷答案一、选择题1.C；2.A提示：构造长方体对角线与三条棱所成的角；3.B设需t小时，则1249616213111614121t,解得t=2;4.B用圆锥曲线的定义；5.C；6.D.二、填空题7.3构造函数tttf20022003,它是奇函数又是增函数，yfxf21,所以x+y=3；8.3原式可得2sinxtanx+tanx－2sinx=3，即21tan1sin2xx，函数1tan1sin2xxxf为增函数，且3fxf，故x.9.22若,22yxyx则t=x，2122222xyxyyxyxxt，当,22yxyx则21222222yxxyyxyt，故22t,当且仅当22yx时取等号.10.n3nkknkknnxCxxP01212，所以nnkNKKKnkCa32||00.11.2321123ahhh可以把它分割成一个四棱锥与一个三棱锥的体积和.12.①④三、解答题13.提示：|ln|是以1为首项，公比33为的等比数列，所以，1001200220033133l.14.提示：考察函数21tttg，易知21tttg在(0,1)内递增，从而对于1,0,21tt且21tt时，有02121tgtgtt，所以对任意的1,0x有01031312xxx，即131031322xxxx，同理对y,z有类似的式子，三式相加即可得所求的最小值为0.当且仅当31zyx时,取等号.15.（1）平面ABC与平面ABD，证明略；（2）Rxxxxf22222sin,因为1,22xf，所以，,.16.略解：（1）由已知得，a1=f(0)=1，函数y=f(x)在R上是单调递减函数，且0121fafafnn，故,02,0211nnnnaafaaf，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列，由此得，4005,122003anan.（2）已知可得1211111121naaakn恒成立。设1211111121naaanFn，知0nF且nFnFnFnF1,11。故nF为关于n的单调增函数，所以，3321FnF,332k，即k的最大值为332.17.(1)设乙公司第n年的市场占有率为nb，则AAAAAbnnn11212242（2）2015年为第20年，则AAAa1022140202040220,AAb22121920,即%202020ab，可见，2015年会出现乙公司被甲公司兼并的局面。18.解：设如图为满足条件的直角三角形OAB，则直线OM的斜率为7tan；直线OA的斜率为43tan；直线OB的斜率为34.由此可设点A的坐标为A(4t,3t)，点B的坐标为B(－3s,4s)(s,t0)，且其中s,t都是整数.设的内切圆半径为r，则9657196222222ppOMr，225,5,5stABsOBtOA，由9610555,222pststrABOBOA得，整理得，22112232962192192pppspt，由rsrt25,25得0192,0192pspt故所求的三角形的个数等于221132p的正因数的个数，即当32，p时，共有(11+1)(2+1)(2+1)=108个直角三角形符合题意；当p=2时，共有(13+1)(2+1)=42个直角三角形符合题意；当p=3时，共有(11+1)(4+1)=60个直角三角形符合题意.