2004年全国初中数学竞赛试题及答案

2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1.已知实数ba，且满足)1(33)1(2aa，2)1(3)1(3bb.则baaabb的值为（）.（A）23（B）23（C）2（D）13答：选（B）∵a、b是关于x的方程03)1(312xx的两个根，整理此方程，得0152xx，∵0425，∴5ba，1ab.故a、b均为负数.因此232222ababbaababbaabbaababbaaabb.2.若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）.（A）2hab（B）hba111（C）222111hba（D）2222hba答：选（C）∵0ha，0hb，∴2hab，222222hhhba；因此，结论（A）、（D）显然不正确.设斜边为c，则有cba，abchhba2121)(21，即有hba111，因此，结论（B）也不正确.由abhba212122化简整理后，得222111hba，因此结论（C）是正确的.3．一条抛物线cbxaxy2的顶点为（4，11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（）.（A）只有a（B）只有b（C）只有c（D）只有a和b答：选（A）由顶点为（4，11），抛物线交x轴于两点，知a0.设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为1x，2x，即为方程02cbxax的两个根.由题设021xx，知0ac，所以0c.根据对称轴x=4，即有02ab，知b0.故知结论（A）是正确的.4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1:2.若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）.（A）6（B）8（C）10（D）12答：选（B）由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以41322CABCDESSCACD，又由题设知21FAFD，所以31ADFD，ACACADFD41433131，故DCFD，于是41212CFGCDESS，8CFGS.因此，结论（B）是正确的.（第4题图）5．如果x和y是非零实数，使得3yx和03xyx，那么x+y等于（）.（A）3（B）13（C）2131（D）134答：选（D）将xy3代入03xyx，得0323xxx.（1）当x0时，0323xxx，方程032xx无实根；（2）当x0时，0323xxx，得方程032xx解得2131x，正根舍去，从而2131x.于是2137213133xy.故134yx.因此，结论（D）是在正确的.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，60BAD，则EDC（度）.答：30°解：设2CAD，由AB=AC知60)260180(21B，6060180BADB，由AD=AE知，90ADE，所以30180ADBADEEDC.7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有2dkmnT的关系(k为常数).现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为次（用t表示）.答：2t（第6题图）解：据题意，有kt21608050，∴tk532.因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为2645532320100802ttkTBC.8．已知实数a、b、x、y满足2yxba，5byax，则)()(2222yxabxyba.答：5解：由2yxba，得4))((bxaybyaxyxba，∵5byax，∴1bxay.因而，5))(()()(2222byaxbxayyxabxyba.9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC(BCAD)，90D，BC=CD=12,45ABE，若AE=10，则CE的长为.答：4或6解：延长DA至M，使BM⊥BE.过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以BC=BG.又GBMCBE，∴Rt△BEC≌Rt△BMG.∴BM=BE，45ABMABE，∴△ABE≌△ABM，AM=AE=10.设CE=x，则AG=x10，AD=xx2)10(12，DE=x12.在Rt△ADE中，222DEADAE，∴22)12()2(100xx，即024102xx，解之，得41x，62x.（第9题图）（第7题图）故CE的长为4或6.10．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.答：313解：∵zyx5，35)5(3)(32zzzzyxzxy，∴x、y是关于t的一元二次方程035)5(22zztzt的两实根.∵0)35(4)5(22zzz，即0131032zz，0)1)(133(zz.∴313z，当31yx时，313z.故z的最大值为313.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当100x时，图象是抛物线的一部分，当2010x和4020x时，图象是线段.（1）当100x时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.解：（1）当100x时，设抛物线的函数关系式为cbxaxy2，由于它的图象经过点（0，20），（5，39），（10，48），所以.4810100,39525,20cbacbac解得，51a，524b，20c.所以20524512xxy，100x.…………………（5分）（第11（A）题图）（2）当4020x时，7657xy.所以，当100x时，令y=36，得2052451362xx，解得x=4，20x（舍去）；当4020x时，令y=36，得765736x，解得74287200x.……………………（10分）因为24742447428，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低于36时，讲授完这道竞赛题.……………………（15分）12．已知a，b是实数，关于x，y的方程组baxybxaxxy,23有整数解),(yx，求a，b满足的关系式.解：将baxy代入bxaxxy23，消去a、b，得xyxy3，………………………（5分）3)1(xyx.若x+1=0，即1x，则上式左边为0，右边为1不可能.所以x+1≠0，于是111123xxxxxy.因为x、y都是整数，所以11x，即2x或x0，进而y=8或y0.故82yx或00yx………………………（10分）当82yx时，代入baxy得，082ba；当00yx时，代入baxy得，0b.综上所述，a、b满足关系式是082ba，或者0b，a是任意实数.………………………（15分）13．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP，求PDPB的值.解：连结AP，则ADPACBAPB，所以，△APB∽△ADP，…………………………（5分）∴ADAPAPAB，所以223ADADABAP，∴ADAP3，…………………………（10分）所以3ADAPPDPB.…………………………（15分）14．已知0a，0b，0c，且acbacb242，求acb42的最小值.解：令cbxaxy2，由0a，0b，0c，判别式042acb，所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点)0,(1xA，)0,(2xB，因为021acxx，不妨设21xx，则210xx，对称轴02abx，于是caacbbaacbbx2424221，………………（5分）所以aacbaacbbcabac242444222，…………………（10分）故442acb，当1a，b=0，c=1时，等号成立.所以，acb42的最小值为4.………………………（15分）（第13（A）题图）（第14（A）题图）