2004年中国数学奥林匹克试题

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2004年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题(第一天)(2004年1月8日上午8:00~12:30澳门)1.凸四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,满足1AEBFCGDHEBFCGDHA,而点A,B,C,D分别在凸四边形E1F1G1H1的边E1F1,F1G1,G1H1,H1E1上,满足E1F1∥EF,F1G1∥FG,G1H1∥GH,H1E1∥HE.已知11EAAH,求11FCCG的值.2.已知正整数c,设数列12,,xx满足:1xc,且112212,3,nnnxnxxnn,其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列nx的通项公式.3.设M是平面上n个点组成的集合,满足:(1)M中存在7个点,是一个凸七边形的7个顶点;(2)M中任意5个点,若这5个点是一个凸五边形的5个顶点,则此凸五边形内部至少含有M中的一个点.求n的最小值.2004年中国数学奥林匹克暨第十九届冬令营试题(第二天)(2004年1月9日上午8:00~12:30澳门)4.给定实数a和正整数n,求证:(1)存在唯一的实数数列011,,,nxxx满足:013311011,2,,2niiiixxxxxxain;(2)(1)中的数列011,,,nxxx满足0,1,,1ixain.5.给定正整数n≥2,设正整数1,2,,iain满足:12naaa以及niia11≤1.求证:对任意实数x,有21221niixa≤2111121xaa.6.证明:除了有限个正整数外,其他的正整数n均可表示为2004个正整数之和122004naaa,且满足:12200411,|1,2,,2003iiaaaaai

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