2005年福建省高一数学竞赛试题

2005年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月15日上午8：30—11：00)题号一二总分1—1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=13-x+13+x的最大值为a，最小值为b，则ab等于.2.已知实数b,c满足b2c，且函数442xxy当b≤x≤c时有最大值4c，最小值b，则b+c=.3.已知集合NxxxS，101，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以k)1(再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对S的所有非空子集，这些和的总和为.4.已知两个集合A=Nmmymxyx，，23),(，B=Nnnnaynxyx，，)1(),(2，若A∩B≠，则整数a的值为.5.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x，都有f(x)+2f(2005x)=3x，则f(2)=.6.a,b,c是正整数，且成等比数列，b-a是一个完全平方数，log6a+log6b+log6c=6，则a+b+c=.7.已知f(x)=x2+6ax-a，y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点(x1，0),(x2,0)且a(1+x1)(1+x2)-3(1-6a-x1)(1-6a-x2)=8a-3，则a的值为.8.若不等式5217112xxax对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是.9.已知数列{ak}的通项ak=2k，k=1，2，…，n，则所有的aiaj(1≤i≤j≤n)的和为.10.设n为正整数，记1×2×…×n为n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数a2，a3，a4，a5，a6满足3136=a22！+a33！+a44！+a55！+a66！，这里0≤aiI，i=2，3，4，5，6，则2625242322aaaaa等于.二、解答题(共4小题，每小题15分，满分60分)11.设a,b,c这三个质数成等差数列，公差为10，求出所有这样的a,b,c.12.设f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)，已知1)1(f，1)0(f1)1(f，求证：当x∈[-1,1]时，45)(xf.13.在直角三角形ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与BC，CA，AB相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点p，连接PC，PE，PF，FD.已知PC⊥PF.求证：(1)PFFD=PDDC(2)PE∥BC.PDFEBAC14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：(1)A的元素个数不小于3；(2)若a∈A，则a的所有正因数都属于A(3)若a∈A，b∈A，1ab，则1+ab∈A.请解答下面的问题：(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素(2)问：2005是否是集合A的元素？并说明理由。.