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第二十三届全国中学生物理竞赛初赛试题及答案本卷共本题，满分200分一、(20分，每小题10分)1.如图所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与球B之间用线相连.球B与球C之间用弹簧S2相连.A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计.开始时它们都处在静止状态.现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度.2.两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图所示.开始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动.(i)现将AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触)，并使之停在A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在一起.(ii)如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A″B″位置处，结果发现两条形磁铁也碰在一起.试定性地解释上述现象.二、(20分，第1小题12分，第2小题8分)1.老爷爷的眼睛是老花眼.(i)一物体P放在明视距离处，老爷爷看不清楚.试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图.(ii)戴了一副300度的老花镜后，老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P，试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图.(iii)300度的老花镜的焦距f=____m.2.有两个凸透镜，它们的焦距分别为f1和f2，还有两个凹透镜，它们的焦距分别为f3和f4.已知，f1＞f2＞|f3|＞|f4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜，组成一架最简单的单筒望远镜，要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像，则应选焦距为____的透镜作为物镜，应选焦距为____的透镜作为目镜.三、(20分，第1小题12分，第2小题8分)1.如图所示，电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处，电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上，两电荷相距l.已知q2=2q1.(i)求在x轴上场强为零的P点的坐标.(ii)若把一电荷量为q0的点电荷放在P点，试讨论它的稳定性(只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况).2.有一静电场，其电势U随坐标x的改变而变化，变化的图线如图1所示.试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线(设场强沿x轴正方向时取正值，场强沿x轴负方向时取负值)四、(20分)一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中，大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L＞H.现把细管弯成L形，如图所示.假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示).五、(20分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素，电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件.即式中n称为量子数，可取整数值1，2，3，…；h为普朗克常量.试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差.六、(25分)如图所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P.当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动.转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连.除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行.现将P释放，试求P匀速下落时的速度.七、(25分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处.圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B.筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒.设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的.若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：1.P的速率应为多少？2.P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？八、(25分)图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是l.一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点.现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当，分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？1.2.设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的.九、(25分)从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量，G为引力常量.1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示).2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？3.试导出.参考答案及评分标准一、参考解答：1.线剪断前，整个系统处于平衡状态.此时弹簧S1的弹力F1=(mA+mB+mC)g(1)弹簧S2的弹力F2=mCg(2)在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失.设此时球A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有F1-mAg=mAaA(3)F2+mBg=mBaB(4)F2-mCg=mCaC(5)解以上有关各式得，方向竖直向上(6)，方向竖直向下(7)aC=0(8)2.开始时，磁铁静止不动，表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡.(i)从板突然竖直向下平移到停下，板和磁铁的运动经历了两个阶段.起初，板向下加速移动，板与磁铁有脱离接触的趋势，磁铁对板的正压力减小，并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动.在这过程中，由于磁铁对板的正压力减小，最大静摩擦力亦减小.向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.接着，磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动，直到停在A′B′处.在这过程中，磁铁对板的正压力增大，最大静摩擦力亦增大，因两磁铁已碰在一起，磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的，两条磁铁吸在一起的状态不再改变.(ii)从板突然竖直向上平移到停下，板和磁铁的运动也经历两个阶.起初，板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动，在这过程中，正压力增大，最大静摩擦力亦增大，作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡，磁铁在水平方向不发生运动.接着，磁铁和板一起作加速度力减小，向下的加速度愈大，磁铁的正压力愈小，最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时，最大静摩擦力减小到小于磁力，于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.评分标准：(本题20分)1.10分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分，aA、aB的方向各1分.2.10分.(i)5分，(ii)5分.(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由，才给这5分，否则不给分).二、参考答案1.(iii)2.f1，f4.评分标准：(本题20分)1.12分.(i)4分，(ii)4分，(iii)4分.2.8分.两个空格都填对，才给这8分，否则0分.三、参考解答：1.(i)通过对点电荷场强方向的分析，场强为零的P点只可能位于两点电荷之间.设P点的坐标为x0，则有(1)已知q2=2q1(2)由(1)、(2)两式解得(3)(ii)先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况.q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为方向沿x轴正方向方向沿x轴负方向由于处合场强的方向沿x轴的正方向，即指向P点.由以上的讨论可知，在x轴上，在P点的两侧，点电荷q1和q2产生的电场的合场强的方向都指向P点，带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0＞0时，P点是q0的稳定平衡位置.带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点，所以当q0＜0时，P点是q0的不稳定平衡位置.再考虑q0被限制在沿垂直于x轴的方向运动的情况.沿垂直于x轴的方向，在P点两侧附近，点电荷q1和q2产生的电场的合场强沿垂直x轴分量的方向都背离P点，因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂直x轴的分量的电场力都背离P点.所以，当q0＞0时，P点是q0的不稳定平衡位置.带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点，所以当q0＜0时，P点是q0的稳定平衡位置.2.评分标准：(本题20分)1.12分.(i)2分.(ii)当q0被限制在沿x轴方向运动时，正确论证q0＞0，P点是q0的稳定平衡位置，占3分；正确论证q0＜0，P点是q0的不稳定平衡位置，占3分.(未列公式，定性分析正确的同样给分)当q0被限制在垂直于x轴的方向运动时，正确论证q0＞0，P点是q0的不稳定平衡位置，占2分；正确论证q0＜0，P点是q0的稳定平衡位置，占2分.2.8分.纵坐标标的数值或图线有错的都给0分.纵坐标的数值.图线与参考解答不同，正确的同样给分.四、参考解答：开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H(以cmHg为单位)，注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短.当管中水银柱长度为x时，管内空气压强p=(H+x)，根据玻意耳定律，此时空气柱长度(1)空气柱上表面与管口的距离(2)开始时x很小，由于L＞H，故即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止.何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论.1.水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管此时水银柱的长度x≤l，由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL(3)由(3)式可得x=L-H(4)由此可知，当l≥L-H时，注入的水银柱的长度x的最大值xmax=L-H(5)2.水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管此时注入水银柱的长度x＞l，由玻意耳定律有(H+l)(L-x)=HL(6)(7)(8)由(8)式得l＜L-H，或L＞H+l(9)(10)即当l＜L-H时，注入水银柱的最大长度x＜xmax.由上讨论表明，当l≥L-H时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为xmax，即(5)式.评分标准：(本题20分)正确论证l≥L-H时，可注入的水银量最大，占13分.求出最大水银量占7分.若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分.五、参考解答：正、负电子绕它们连线的中点作半径为的圆周运动，电子的电荷量为e，正、负电子间的库仑力是电子作圆周运动所需的向心力，即(1)正电子、负电子的动能分别为Ek+和Ek-，有(2)正、负电子间相互作用的势能(3)电子偶素的总能量E=Ek++Ek-+Ep(4)由(1)、(2)、(3)、(4)各式得(5)根据量子化条件，n=1，2，3，…(6)(6)式表明，r与量子数n有关.由(1)和(6)式得与量子数n对应的定态r为n=1，2，3，…(7)代入(5)式得与量子数n对应的定态的E值为n=1，2，3，…(8)n=1时，电子偶素的能量最小，对应于基态.基态的能量为(9)n=2是第一激发态，与基态的能量差(10)评分标准：(本题20分)(2)式2分、(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分.六、参考解答：P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动.通过两个轮子之