2006年第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答

第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答一．（朱华伟供题）设n是给定的正整数，n≥2，12,,,(0,1)naaa∈.求611(1)niiiaa+=−∑的最大值，这里．11naa+=解由AM－GM不等式，得),3(612)21(61221212121)1(2)1(132132616461+−⋅=+−+⋅≤⋅⋅⋅⋅−=−++++iiiiiiiiaaaaaaaa所以,23612)3(612)1(3321132161nnaaaaniiiniii=⋅⋅=+−⋅≤−∑∑=+=+等号成立当且仅当2121====naaa.故y的最大值是32n.二．（冯志刚供题）求满足下述条件的最小正实数k：对任意不小于k的4个互不相同的实数a，b，c，d，都存在a，b，c，d的一个排列p，q，r，s，使得方程22()(xpxqxrxs)0++++=有4个互不相同的实数根．解所求最小正实数.4=k一方面，若，取4k)4,[,,,kkdcba∈，则对的任意排列，方程的判别式，该方程无实数根.所以，.),,,(dcba),,,(srqp02=++qpxx0444442=−≤−−=Δkkqkqp4≥k另一方面，设是不小于4的4个不同实数，不妨设dcba,,,dcba≤4，考察方程（1）,02=++adxx和.（2）02=++bcxx首先，，故（1）、（2）都有两个不同实根.0)(44,0)(4422−−−−bcbcadad1其次，若（1）与（2）有公共实根β，则两式相减，得⎩⎨⎧=++=++,0,022bcadββββ0−−=cdabβ，这时，，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而02++adββ4=k符合要求.综上，问题的答案为.4=k三.（熊斌供题）如图，在△PBC中，60PBC∠=°，过点P作△PBC的外接圆ω的切线，与CB的延长线交于点A.点D和E分别在线段PA和圆ω上，使得，PD＝PE.连接BE，与PC相交于点F.已知AF，BP，CD三线共点．90DBE∠=°(1)求证：BF是的角平分线；PBC∠(2)求tanPCB∠的值．解（1）当BF平分时，由于PBC∠90DBE∠=°，所以，BD平分，于是PBA∠1BCABPFCBADPBCBADPBC⋅⋅=DBF′′°BAPB⋅⋅=，FDEPBCAMF所以，由Ceva定理的逆定理知，AF，BP，CD三线共点．若还有一个角满足，且∠90DBF′′∠=,,AFBPCD′′三线共点，不妨设在线段PF内，则F′D′在线段AD内，于是PFPFCFC′′，ADADPDPD′′，F所以1PFCBADPFCBADFCBADPFCBAPD′′⋅⋅⋅⋅=′′，这与,,AFBPCD′′三线共点矛盾．所以，BF是的内角平分线．PBC∠（2）不妨设圆O的半径为1，PCBα∠=°，由（1）知，30PBEEBC∠=∠=，E是PC的中点．因为∠=，30MPEPBE∠=30CPECBE°∠=∠=°∠=21sin30,2cos15PEDE，所以由PD＝PE知，∠=，15PDEPED°=⋅⋅°=°．又2sin2sin(30)BEECBα=∠=+°，1515BEDBEPα∠=∠−°=−°，所以，在直角三角形BDE中，有2sin(30)cos(15)2cos15BEDEαα+°−°==°，cos(15)cos15sin(30)αα−°°=+°，coscos(30)2sin(30)ααα+−°=+°，2coscoscos30sinsin303sincosαααα+°+°=+α，311tan3tan22αα++=+1，所以63tan11α+=．四．（陶平生供题）设正整数a不是完全平方数，求证：对每一个正整数n，{}{}{}2nnSaaa=+++的值都是无理数．这里{}[]xxx=−，其中[]x表示不超过x的最大整数．证明：设()221cac+，其中整数，则1c≥ac⎡⎤=⎣⎦，且，而212acc≤−≤{}aaaa⎡⎤=−=−⎣⎦c．令{}*(),,,kkkkkkaacxyakNxy=−=+∈∈Z).则()(1212......nnSxxxyyy=+++++++na．……①下面证明，对所有正整数n，10nnkkTy==≠∑.由于()()()111()()kkkkkkkkkxyaacacxyaaycxxcya++++=−=−+=−+−，所以11.kkkkkkxaycxyxcy++=−⎧⎨=−⎩，由可得11,xcy==122yc=−.消去{}kx得，()2212kkycyac++=−+−ky，②其中121,2yyc==−.由数学归纳法易得2120,0kkyy−．③由②和③，可得32222121222221212(21)()0,(21)()0,kkkkkkkkyycyacyyycyacy++++++−=−++−+=−−+−相乘得，又因2222210kkyy++−22210yy−，故212kkyy−．又由22122212212221(21)()0,(21)()0,kkkkkkkkyycyacyyycyacy+−+−−=−++−+=−−+−相乘得，即222120kkyy+−22kkyy1+．所以，对所有正整数n，都有1nnyy+．④故由③④得，对所有正整数n，都有2122210,0kkkkyyyy−+++．因此211232221()...()0nnTyyyyy−−=+++++n−n，21234212()()...()0nnTyyyyyy−=++++++，从而对所有正整数n，都有，故由①知，是无理数.0nT≠nS五．（王建伟供题）设{}1,,1Snnnn=−+都可以表示为两个正整数的平方和．证明：若n，则．S∈2nS∈证明注意到若x，y是整数，则由奇偶性分析知220,1,2(mod4)xy+≡．若，则由上知．于是可设nS∈1(mod4)n≡221,naba−=+≥bf11nn+=[phone]()()(2)ncdcdcd=+=−+2e，22,ncdcd=+（c，d不可能相等），221,nefe+=+≥，其中a，b，c，d，e，f都是正整数．则，，．2222222222)()())((1beafbfaefeban++−=++=−假设b＝a，且f＝e，则，两式相减得，212,12nan−=+=221ea−=，则，1ea−≥4而，矛盾！221()(eaeaea=−=+−)1故b＝a，f＝e不可能同时成立．所以，，于是0aebf−2nS∈．六．（边红平供题）如图，AB是圆O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作圆O的割线，与圆O交于D，E两点，OF是△BOD的外接圆O1的直径，连接CF并延长交圆于点G．求证：O，A，E，G四点共圆．1O证明连接AD，DG，GA，GO，DB，EA，EO．因为OF是等腰△DOB的外接圆的直径，所以OF平分DOB∠，即2DOBDOF∠=∠．又12DABDOB∠=∠，所以DABDOF∠=∠．又DGFDOF∠=∠，所以DABDGF∠=∠，所以，G，A，C，D四点共圆．所以ADCAGC∠=∠．①而2π+∠=∠+∠=∠AGOOGFAGOAGC，②2ADCADBBDCBDCπ∠=∠+∠=+∠，③结合①，②，③得．④AGOBDC∠=∠因为B，D，E，A四点共圆，所以BDCEAO∠=∠，⑤又OA＝OE，所以EAOAEO∠=∠．⑥由④，⑤，⑥得，所以，O，A，E，G四点共圆．AGOAEO∠=∠ABOCEDFGO1七．（李伟固供题）设k是一个不小于3的正整数，θ是一个实数．证明：如果cos(1)kθ−和coskθ都是有理数，那么存在正整数，使得conks(1)nθ−和cosnθ都是有理数．5证明首先，我们证明如下结论：设α是一个实数，如果cosα是有理数，那么对任意正整数m，cosmα是有理数．对m用数学归纳法．由cosα是有理数，得2cos22cos1αα=−也是有理数．设对一切，)2(≥≤llmcosmα是有理数，则由αααα)1cos(coscos2)1cos(−−⋅=+lll知α)1cos(+l也是有理数，即当1+=lm时命题也成立．由上述结论，对,(1)kkαθ=−θ1，分别令,mkk=+得到22cos,cos(1)kkθθ−都是有理数，又，从而命题得证．2kk八．（冷岗松供题）给定正整数，求(2)n≥X的最小值，使得对集合X的任意n个二元子集12,,,nBBB，都存在集合X的一个子集Y，满足：（1）Yn=；（2）对，都有1,2,,in=1iYB≤∩．这里A表示有限集合A的元素个数．（供题获得一等奖）解.12||min−=nX（1）当时不一定存在条件的Y.事实上，令22||−=nX}22,,2,1{−=nX，考虑X的一个划分.因为}22,32{,},4,3{},2,1{121−−===−nnBBBnnY=||，因此Y中至少有两个元素属于同一个，故此时，矛盾.jB1||∩jBY（2）下证12||−=nX符合题意.记，，则存在z个在所有中未出现的元素，记为.如果，则取便可.∪niiBB1==znB−−=12||iBzaaa,,,211−≥nzBddaaYn∈=−},,,,{11下设.1−nz设在中仅出现1次的元素有t个，因，则nBBB,,,21∑==niinB12||ntznt2)12(2≤−−−+，所以znt222−−≥.故在中出现的次数的元素至多累计出现了nBBB,,,212≥zznn22)222(2+=−−−次.6考虑在中出现一次的元素，于是中的元素不含的至多有nBBB,,,21tbbb,,,21nBBB,,,21tbbb,,,21jBzz+=+1222个.故至少有个含有.1)1(−−=+−znznjBtbbb,,,21不妨设分别含有中的元素，znBBB−−121,,,tbbb,,,21znbbb−−121~,,~,~（如果这样中有多个只选一个）.)11(znlBl−−≤≤因为1222)1(2−−−=+−−nznzzn，所以必有某个元素d不出现在中且出现在中，记znBBB−−121,,,nznBB,,−{}dbbbaaaYznz,~,,~,~,,,,12121−−=，则Y满足要求.7