2007年福建省高一数学竞赛试题

2007年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月20日上午8：30—11：00)题号一二三总分1—56—121314151617得分评卷人复查人答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.一、选择题(共5小题，每小题5分，满分25分)1.给出下列四个命题：（1）若a、b是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时平行a、b；（2）若a、b是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时垂直a、b；（3）若a、b是异面直线，则过a存在唯一的一个平面平行于b；（4）若a、b是异面直线，则过a存在唯一的一个平面垂直于b；上述四个命题中，正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.设集合23lg42,11MxyxxNxx，则MN（）A.151xxB.32xxC.11xxD.153512xxx或3.已知函数2xfx与3gxx的图像交于1122,,AxyBxy、两点，其中12xx.若2,1xaa，且a为整数，则a（）A.7B.8C.9D.104.已知函数21010),xxfxxfx（）(若方程fxxa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A.,0B.0,1C.,1D.0,5.点O在△ABC的内部，且满足220OAOBOC，则△ABC的面积和凹四边形ABOC的面积之比为（）A.52B.32C.54D.43二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)6.若存在实数x和y，使得222223sincos,21cossin,2,xyaxya则实数a的所有可能值为.7.将一边长为4的正方形纸片按图1中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱，设其体积为1V；若将同样的正方形纸片按图2中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥，设其体积为2V；则1V与2V的大小关系是.图1图28.已知cosnnba，其中23*123nnannN，则122007bbb的值为.9.设1cos2,1sin22xfxgxxx，且fx为奇函数，gx为偶函数，则2244fg.10.若对满足1x的一切实数x，不等式214ttx恒成立，则实数t的取值范围是.11.已知fx为R上的偶函数，且对任意xR都有63fxfxf成立，则2007f12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：123,,,,naaaa，例如：222222123213325437aaa，，，224318a，.那么2007a.三、解答题(共5小题，每小题12分，满分60分)13.已知圆C满足下列三个条件（1）圆C与x轴相切；（2）圆心C在直线30xy上；（3）圆C与直线0xy交于A、B两点，且△ABC的面积为14.求符合上述条件的圆C的方程.14.已知二次函数20fxxbxcb在区间1,1上的最小值为34，最大值为3.（1）求fx的表达式；（2）若1nafnfn，其中2n，且*nN.求证：2222234111114naaaa.OCBA15.如图，在四边形OBAC中BOCO，AB=AC=4,求四边形OBAC面积的最大值.OBDGFEAC16.如图，AB是圆O的直径，C是弧AB的中点，在AB及其延长线上分别取点D、E，使BD=BE，直线CD、CE分别交圆O于点F、G.（1）求证：AFAGDFEG；（2）在直径AB上是否存在点D，使得FG与AB垂直.若能，请写出作法；若不能，请说明理由.第16题图17.求最小的正整数n，使得集合1,2,3,,2007的每一个n元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂.简解选择：AACCC填空：6、1；7、21VV；8、1；9、2；10、21212113t11、0；12、2679解答：13、9319312222yxyx或14、（1）12xxxf（2）利用nnn1112进行放缩15、28816、（1）证明△ECB∽△EAG及△BCD∽△FAD（2）反证法17、1002．