2007年浙江省高中数学竞赛B卷(参考答案)4.15

2007年浙江省高中数学竞赛B卷（参考答案）4.15一、选择题1.已知集合220,AxxxxR，210,BxxxR，则AB＝（）A.12xxB.1,or12xxxC.12xxD.12xx解：220xx(2)(1)012xxx210x||11,or1xxx.从而可得AB12xx。应选Ｄ。2.当0,4x时，下面四个函数中最大的是（）。A.sin(cos)xB.sin(sin)xC.cos(sin)xD.cos(cos)x解：因为0,4x，所以20sincos12xx。于是有cos(sin)cos(cos)xx，sin(sin)sin(cos)xx。又因为sincos2sin()242xxx，即cossin2xx，所以有sin(cos)sin(sin)cos(sin)2xxx。因此，cos(sin)x最大。应选Ｃ。3.已知椭圆2214xy上一点Ａ到左焦点的距离为3，则点Ａ到直线433x的距离为（）A.2B.2(233)3C.2(433)3D.4333解：设左右焦点为12,FF，则124AFAF，123,43AFAF。椭圆的离心率为32cea。而433x即为右准线，由定义得，Ａ到直线433x的距离等于432(433)332。应选Ｃ。4.设非常值函数()()fxxR是一个偶函数，它的函数图像()yfx关于直线22x对称，则该函数是（）A.非周期函数B.周期为22的周期函数C.周期为2的周期函数D.周期为2的周期函数解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像()yfx关于直线22x对称，则22()()22fxfx，即22(2)(())()()22fxfxfxfx。故该函数是周期为2的周期函数。应选Ｃ。5.如果23()1log2log9log64xxxfx，则使()0fx的x的取值范围为（）A.01xB.813xC.1xD.83x解：显然0x，且1x。23()1log2log9log64xxxfx1log2log3log4xxx3log8xx。要使()0fx。当1x时，318x，即813x；当01x时，318x，此时无解。由此可得，使()0fx的x的取值范围为813x。应选Ｂ。6.设2()min24,1,53fxxxx，则max()fx（）A.１B.２Ｃ.３D.４解：作图比较容易得到max()2fx。应选Ｂ。二、填空题7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若320OAOBOC，则ABBC。解：因为32OBOAOC，所以2()OBOAOCOB。于是有2ABBC。因此2ABBC。答案为：２。8.已知数列na，11a，前ｎ项部分和nS满足1112nnnnnnSSSSSS，则na。解：1112nnnnnnSSSSSS11(2)0nnnnSSSS12nnSS2(1)121nSnn2(21)nSn。于是221(21)(23)8(1)nnnaSSnnn，（1n）。答案为：118(1)1nnann。9.方程116sincos16xxxx的解集合为。解：当0x时，1168xx，（14x取到等号）。而16sincos8sin28xxx，（1,4xkkZ取到等号）。于是有当0x时，方程只有一个解14x。由于奇函数的性质，可知14x是方程的另一解。故方程的解集合为11,44。10.今天是星期天，再过20072007天后是星期。解：2007200720073669112007(72865)7575MM669669127(7176)7(71)MM347176MM其中1234,,,MMMM均为正整数。因此答案为星期六。11.从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有种。解：若取出的３个数构成递增等比数列2,,aaqaq，则有21169aaqaq。由此有213q。当q固定时，使三个数2,,aaqaq为整数的a的个数记作()Nq。由2169aq，知()Nq应是2169q的整数部分。2169(2)422N，2169(3)183N，(4)10N，(5)6N,(6)4N，(7)3N,(8)2N,(9)2N,(10)(11)(12)(13)1NNNN.因此，取法共有(1)(2)(13)91NNN。答案为91。12.整数xyz，且2224.625xyz，则,,xyz分别为。解：方程两边同乘以８，得33322237xyz。因为xyz，所以要使左边为奇数，只有321z，即3z。则332236xy11229xy。要使左边为奇数，只有121y，即1y。从而有128x，即2x。故有2,1,3xyz。答案为2,1,3。三、解答题13.设Ｐ，Ｑ为圆周221xy上的两动点，且满足与圆内一定点1(0,)2A，使2PAQ，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。解法一：连接PQ，OM，由圆的切线性质知OMPQ，且PQ与OM交点E为PQ的中点。…………5分设(,)Mxy，则222OMxy，2221OPOEOMxy。从而得到E点的坐标为2222,xyxyxy。…………10分由于2PAQ，所以EAEP。又21EPOE，于是有221OEEA，即有22222222111()()2xyxyxyxy…………15分化简得224833xyy。上述为以20,3为圆心，273为半径的圆周。…………20分解法二：设Ｐ，Ｑ的坐标为1122,,,xyxy。由题意知，过Ｐ，Ｑ的切线方程分别为111xxyy…………①221xxyy…………②22111xy…………③22221xy…………④…………5分由PAAQ，得121211()()022xxyy…………⑤若①和②的交点仍记为,xy，由此得到121211,xxxxyyyy(0y)…………10分代入③和④，得221111xxxy222211()21xyxxxy222211xxxy222222()21xyxxxy联立上述两式，即得2222221212()()2()xyxxyxxxx…………15分因为12xx，所以2212()()2xyxxx，即12222xxxxy。同理可得12222yyyxy。于是有221212224xxyyxy12122221xxyyxy再由⑤式，推出12121211()024xxyyyy。由上可得，2222234yxyxy。即有224833xyy。上述为以20,3为圆心，273为半径的圆周。…………20分当80,3yx时，也符合题设所求的轨迹。14.设222(,,)sin()sin()sin()fxyzxyyzzx，,,xyzR，求(,,)fxyz的最大值。解：222(,,)sin()sin()sin()fxyzxyyzzx1[1cos2()1cos2()1cos2()]2xyyzzx…………5分31[(cos2cos2sin2sin2)(cos2cos2sin2sin2)]22xyxyyzyz1(cos2cos2sin2sin2)2zxzx…………10分2231[(cos2cos2cos2)(sin2sin2sin2)3]24xyzxyz339244，…………15分当23,,333xyz时，上式可以取到等号。故函数(,,)fxyz的最大值是94。…………20分15.设11,0niiixx，求证：221()1nijiiijijxxnxxx。证明：因为11niix，所以有2121niijiijxxx。又0ix，故有1ijxx。…………10分于是有222211221121()()(1)221.nnijiiijiijiijijnniiijiiijniijiijxxnxnxxxxxnxnxxxxxx得证。…………20分