2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题

2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2007年4月15日）本卷满分为150分，考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。题号12345678得分评卷人答案1、已知集合|1,AxxxR，ABR，则集合B不可能．．．是（）A、|1,xxxRB、|1,xxxRC、|1,xxxRD、0,12、已知sin36a，则sin108等于（）A、3aB、334aaC、334aaD、221aa3、已知cba,,均为正数,且都不等于1,若实数zyx,,满足0111,zyxcbazyx,则abc的值等于（）A、1B、2C、3D、44、将正整数中所有被7整除的数删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列na，则100a等于（）A、114B、115C、116D、1175、今有一组实验数据如下：x01234y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是（）A、xybaB、21ybxaxC、2()yxxabD、sin()yAxB6、已知函数2fxxbxc，若方程fxx无实根，则（）A、对一切实数x，不等式ffxx都成立B、对一切实数x，不等式ffxx都成立C、存在实数b和c，使得不等式ffxx对一切实数x都成立D、不存在实数b和c，使得不等式ffxx对一切实数x都成立7、某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A、2()fxxB、()1sinfxxC、()ln26fxxxD、2()lg(1)fxxx8、已知点O是ABC所在平面内的一点，3260OAOBOC且::5:4:3ABBCCA，下列结论错误．．的是（）A、点O在ABC外；B、::6:3:2AOBBOCCOASSSC、点O到,,ABBCCA距离的比是72:45:40D、,,,OABC四点共圆；二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。9、函数()coscos()2fxxx的最小正周期是．10、设12,ee是两个不共线的向量，若向量12()aeeR与向量12(4)bee共线且方向相同，则．11、已知,ab满足约束条件：2122ababba，则ab的最大值等于．12、已知函数11,021,0xxfxfxx，则13()5f21()5f（填“”或“”）.13、现有1000个苹果，分别装到10个箱子里，要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱，得分评卷人是否可行？若行，每个箱子放的苹果数分别是多少？若不行，请说明理由；答：．14、记,max,,aababbab设221max,xytxy，其中,xyR，则t的最小值为．三、解答题：本大题共3小题，共54分。15、（本题满分16分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，G为ABC的重心，且满足ABCGBCAG．（1）证明：222,,abc成等差数列；（2）求函数223sinsin23yBB的最大值．16、（本题满分18分）已知函数()afxxax，（1）若方程()0fx有正根，求实数a的取值范围；（2）设()|()|gxxfx，且()gx在区间[0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．得分评卷人得分评卷人17、（本题满分20分）已知斐波那契数列nF满足：11F，21F，21*nnnFFFnN，若数列1nnFF是等比数列（为实常数）．（1）求出所有的值，并求数列nF的通项公式；（2）求证:12200711172FFF得分评卷人2007年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共48分）题号１２３４５６７８答案BBACCADD二、填空题（每小题8分，共48分）9、210、211、5312、＜13、行，各个箱子放的苹果数依次为1,2,4,8,16,32,64,128,256,48914、2三、解答题（共5４分）15、（1）证明：由已知得11()()()()33CBCACBCAACABACAB2222||||||ACBCAB---------------------------------------------------------7分；即222,,abc成等差数列；-------------------------8分；（2）、由（1）得2222bac，22222112cos222acacbBacac03B，----------------------------------------------------------------------12分；1333cos2sin2cos2sin(2)3223yBBBB又因为,3By当的最大值为332．-----------------------------------------------16分。16、解：（1）方程0axax有正根方程20xaxa有正根．-----------2分24aa①当0，即0a或4a时，经检验4a符合题意．-------------------4分②当0，即4a或0a时，设方程20xaxa的两个根为1x、2x，4a时，使得121200xxxx成立，所以4a符合题意0a时，使得120xx成立，所以0a符合题意．综上，4a或0a--------------------------------------------------9分（2）22()|()|24aagxxa①当204aa即04a时，()gx在区间(,]2a上是减函数，又已知()gx在区间[0,1]上是减函数，12a即2a，24a--------------------------------------------------12分②当204aa即40aa或时，设方程()0gx的两根为12,xx且12xx，此时()gx在区间1(,]x或区间2[,]2ax上是减函数，若[0,1]1(,]x，则11121(1)0axf得2a4a-------------------------------------------------15分若[0,1]2[,]2ax，则2021ax021(1)0af此时a不存在综上，2a--------------------------------------------------18分17、（1）解：设211()(0)nnnnFFqFFq则21()nnnFqFqF又因为21nnnFFF11qq解得151522151522qq或---------------------------------------3分；11151522nnnnFFFF数列和都是等比数列111515()221515()22nnnnnnFFFF两式相减得，11515[()()]225nnnF----------------------------------------8分；（2）证：显然0nF，211nnnnFFFF，nF为递增数列．21nnnnnFFFFF，即22nnFF------------------------------------------12分；22210011001759752007200520035225,2225,,22225FFFFFFFFF222100010008610862006200420026228,2228,,22228FFFFFFFFF------------------------------------------16分；21001212200710011000100011111111111111()(235825252528281111[1()][1()]15111115111112222)1128235858235858112255972602FFF12200711172FFF--------------------------------------------------20分；