2009年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题及答案

2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b，定义,a∗b=a(a+b)+b,已知a∗2.5=28.5，则实数a的值是。【答案】4，1322、在三角形ABC中，22b1,,2aABBCaCA，其中a,b是大于1的整数，则b-a=。【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50,944、已知关于x的方程4322(3)(2)20xxkxkxk有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。【答案】55、如图，直角三角形ABC中,AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为。【答案】2556、设a，b是方程26810xx的两个根，c，d是方程28610xx的两个根，则(a+c)(b+c)(a−d)(b−d)的值。【答案】2772第五题图FECBAP7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1),Q(2,2)，函数y=kx−1的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。【答案】1332k8方程xyz=2009的所有整数解有组。【答案】729如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E，则∠AEB=。【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是。【答案】3001503二、（本题15分）如图，ΔABC中∠ACB=90°，点D在CA上，使得CD=1,AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。解：设BC=x，则21BDx，216ABx，如图，作∠ABD平分第九题图ABCDE第十题图MCDAB第二大题图CBADE线BE，则BDEADB,因此23BDDEDADE。由角平分线定理可知3DEBDDEBDBDDEAEABAEDEABBDABBD。因此2222911161xxxx，解得41111BCx三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，2()abcdabcd其中数字c可以是0。解：设,xabycd,，则2100()xyxy，故22(2100)()0xyxyy有整数解，由于10x100，故y≠0。因此22(2100)4()4(250099)xyyyy是完全平方数，可设2250099ty，故99(50)(50)ytt，0≤50-t50+t之和为100，而且其中有11的倍数，只能有50−t=1或50−t=45，相应得到y=1,25，代入解得982030,,12525xxxyyy因此9801,2025,3025abcd。四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。解：由于222222222222222,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,,,aaa的最小素因子1215,,,ppp，则必有一个素数≥47，不失一般性设1547p，由于15p是合数15a的最小素因子，因此21515472009ap，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,2ab与2ab都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；③证明：若(a，b)是和谐的，且ab是有理数，则a,b都是有理数；解：①不难验证11(,)(2,2)22ab是和谐的。②由已知22()()()(1)tabababab是有理数，abs是有理数，因此1tabab，解得121tass是有理数，当然b=s−a也是有理数。③若20ab，则abb是有理数，因此22()aabb也是有理数。若20ab，由已知222111aabbbxaabbb是有理数，ayb也是有理数，因此211yxbxy，故21xybyx是有理数，因此22()aabb也是有理数。