2009年高中物理竞赛指导-----用坐标法巧解摩擦角问题

2009年高中物理竞赛指导-----用坐标法巧解摩擦角问题在近年的全国物理奥赛中，经常考查一些与摩擦角相关的问题。由于摩擦力的特殊性，使得对这一类竞赛题的分析和解答过程变得非常的复杂，例如第二十届全国复赛试题中（例一题），在其标准解答中，不仅利用了物体不发生滑动的条件，共点力的平衡条件，而且还利用了非共点力的平衡条件，共建立了十五个方程，二十三个等式。为了使解决此类摩擦角问题的方法更加简单和程序化，作者根据摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，向大家介绍一种新的解法——“坐标法”，例一、（第二十届全国复赛试题）有一半径为R的圆柱体A，静止在水平地面上，并与竖直墙面接触。现另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱体B，用手扶着圆柱体A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图示，然后放手。已知圆柱体A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱体之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体B与墙面间的静摩擦系数和圆柱体B的半径r的值各应满足什么条件？解：设A、B与墙面间的静摩擦系数分别为1和3，接触点分别为C、D；A、B之间的静摩擦系数为2，接触点为E。对圆柱体A，由于重力GA与地面对圆柱体A的全反力F1相交于C，根据三力会交原理，所以B对A的全反力F2必过C点，根据牛顿第三定律，A对B的全反力F'2一定过圆柱体B的顶点H。如图甲所示：（1）、以圆柱体B为研究对象，由于重力GB与F'2相交于圆柱体B的顶点H，所以墙面对B的全反力F3一定过H点。如图乙所示：由图乙可知，全反角3=45O又tan3331（2）、如图乙所示，以O2为坐标原点，建立直角坐标系，则各点坐标为：H、（0，r）;C、｛－(R－r)，－22)()(rRrR－R｝直线CH的斜率为：KCH=rRrRrRrR22)()(又tan2=CHK12222)()(rRrRrRrR解得：r0.29R(1)(3)、以A、B两个圆柱体组成的系统为研究对象，由于墙面对B的全反力F3与系统的重力GAB相交于P点，所以地面对圆柱体A的全反力F1一定过P点。如图丙所示：则：F3的直线方程：y=－x+rGAB的直线方程：x=－21(R－r)由以上两式得交点P的坐标为：xp=－21(R－r)yp=21(R+r)则F1的直线斜率：KCP=)(21))()(()(2122rRrRrRRrR又tan1=CPK11122)()(()(21)(21rRrRRrRrR解得：rR91(2)比较（1）、（2）两式可得：Rr0.29R例二、一梯子长为L，斜靠在竖直的墙壁上，梯子的倾角为，与水平地面间的静摩擦系数为1，与竖直墙面间的静摩擦系数为为2，不计梯子的重力，求：重为G的人沿梯子能上升的最大高度。解：以梯子和人组成的系统为研究对象，如图所示，建立直角坐标系：地面对梯子的全反力F1的直线方程：y=－1tan1(x－Lcos)（1）竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程：y=tan2x+Lsin（2）梯子AB的直线方程：y=－tan（x－Lcos）（3）当人达最高时，梯子将要滑动，此时有：tan1=1tan2=2代入上式由（1）、（2）两式可得F1与F2的交点P坐标为：xP=2111)sin(cosL代入（3）式得人达到的最大高度为：y=)cos(sin1tan2211L=)coscossin(1sin2211L令h=Lsin则：y=)(tan12211h=h2121tan讨论：（1）当tan11时，yh,说明人可到达梯子的顶端，即：ymax=Lsin。也就是说，梯子的倾角大于某一临界角0时（tan0=11），梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的，因此人们通常把梯子放得陡一些，使得人无论爬到梯子的任何位置，梯子都将因自锁而不至滑倒，而且梯子与水平地面间的静摩擦系数1越大，临界角0就会越小，梯子会更容易实现自锁状态。（2）、当tan11时，yh,说明人不能到达梯子的顶端，即：ymax=h2121tan如果此题考虑到梯子的重力，则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度，根据系统重心的计算公式，也可计算出人沿梯子上升的最大高度。小结：由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系，所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时，应首选“坐标法”，这样可避免解繁琐的三角形，使解题的目的性更加明确，从而达到事半功倍的效果。