2010第六届北方数学奥林匹克邀请赛试卷

第六届北方数学奥林匹克邀请赛试卷第一天(2010年8月6日8:40—11:40)注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.一、(25分)已知数列{}na满足22112,222,nnnnaaann求通项na.二、(25分)如图，PA、PB是O⊙的切线，切点分别是A、B，过点P的割线与O⊙交于CD、两点，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CEEF.三、(25分)求所有的正整数组(,,)xyz，使得1235xyz成立.四、(25分)如图，在77的方格表的64个网格线交点处放置棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在网格点构成一个矩形（矩形的边平行于网格线）的四个顶点.试求k的最小值.OPFECBDA第二天(2010年8月7日8:40—11:40)注：本试卷共四道题，每题25分，满分100分.五、(25分)设正实数,,abc满足(2)(2)9abbc，求证：322332322abbc.六、(25分)如图，O是ABC的内切圆，D、E、N是切点，连NO并延长交DE于K，连AK并延长交BC于M．求证：M是BC的中点.七、(25分)求满足条件,,,,,xyzxyyzzx，xyz，,,1xyz的所有正整数组,,xyz.其中记号,mn、,mn分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.八、(25分)设,,0,1,xyz且12xy，12yz，12zx，求Wxyzxyyzzx的最小值和最大值.KNMEDCBAO