2010年高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．设集合)34,3(,21|sin|xxxE，则E的真子集的个数为15．2．已知函数46)(2xbxxf的最大值为49，则实数b5．3．若1|lg|，则使函数)cos()sin()(xxxf为奇函数的的个数为3．4．在△ABC中，已知B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，223BK，则△ABC的面积为16715．5．数列}{na满足：3,121aa，且)(||*12Nnaaannn．记}{na的前n项和为nS，则100S89．6．已知aOA，bOB，过O作直线AB的垂线，垂足为P．若3||,3||ba，6AOB，byaxOP，则yx-2．7．已知实数zyx,,满足32xyz，4zyx，则||||||zyx的最小值为12．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为26．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数cbxaxxf2)(的图象经过点)0,2(，且不等式221)(22xxfx对一切实数x都成立．（1）求函数)(xf的解析式；（2）若对一切]1,1[x，不等式)2()(xftxf恒成立，求实数t的取值范围．解（1）由题设知，024cba．①令22122xx，解得2x，由题意可得2221)2(222f，即4)2(4f，所以4)2(f，即424cba．②由①、②可得1,42bac．……………………4分又xxf2)(恒成立，即0)2(2cxbax恒成立，所以0a，且04)2(2acb，即0)42(4)21(2aa，所以41a，从而142ac．因此函数)(xf的解析式为141)(2xxxf．……………………8分（2）由)2()(xftxf得122411)()(4122xxtxtx，整理得0)382)(2(txtx．当3822tt即2t时，3822txt，此不等式对一切]1,1[x都成立的充要条件是138212tt，此不等式组无解．当3822tt即2t时，0)2(2tx，矛盾．……………………12分当3822tt即2t时，txt2382，此不等式对一切]1,1[x都成立的充要条件是121382tt，解得2125t．综合可知，实数t的取值范围是21,25．……………………16分10．已知数列}{na中，41,121aa，且),4,3,2()1(1nananannn．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求证：对一切*Nn，有6712nkka．解（1）由已知，对2n有11)1()1(11nannananannnn，两边同除以n，得)1(1)1(111nnannann，即)111()1(111nnannann，……………………5分于是，)111(111)1(1112121nkkakkanknkkk，即2),111(1)1(12nnaann，所以123)111(1)1(12nnnaann，2,231nnan．又1n时也成立，故*,231Nnnan．……………………10分（2）当2k，有)131431(31)13)(43(1)23(122kkkkkak，………………15分所以2n时，有)131431()8151()5121(31112212nnaankknkk.6761113121311n又1n时，.67121a故对一切*Nn，有6712nkka．……………………20分11．设313116234xxxxP，求使P为完全平方数的整数x的值．解)10(3)13(22xxxP．所以，当10x时，2131P是完全平方数．……………………5分下证没有其它整数x满足要求．（1）当10x时，有22)13(xxP，又03132)3(222xxxxP，所以22)3(xxP，从而2222)13()3(xxPxx．又Zx，所以此时P不是完全平方数．……………………10分（2）当10x时，有22)13(xxP．令ZyyP,2，则|13|||2xxy，即|13|1||2xxy，所以222)13(1||2xxyy，即01|13|2)10(32xxx．解此不等式，得x的整数值为6,5,4,3,0,1,2，但它们对应的P均不是完全平方数．综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10.……………………20分