2011年海南省初中数学竞赛初赛试题及答案

2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）数学试卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月10日8:30——10:30）题号一二三总分(1—10)(11—18)1920得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号12345678910答案1．设xy＜0，x＞|y|，则x+y的值是A.负数B.0C.正数D.非负数2．若(x+3)(x+n)=x2+mx-15，则m等于A.-2B.2C.-5D.53．若0||aa，则化简22)1(aa的结果为A．1B．-1C．12aD．a214．无论m为何实数，直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是A．92B．94C．95D．326．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地速度为v1，从B地返回A地的速度为v2，则A、B两地间往返一次的平均速度为A．221vvB．21212vvvvC．212vvD．21212vvvv7.图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是B.yx图1OA.C.D.8．如图2，AB是坡角为30°的山坡上铅直的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为A．4米B．6米C．8米D．10米9．如图3，菱形ABCD中，点O是对角线AC上一点，OA=AD，且OB=OC=OD=1，则该菱形的边长为A．251B．251C．1D．210．根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处（如图4），正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的方向不变，A市将会受到台风的影响，则A市受影响持续的时间是A．10小时B．20小时C．30小时D．40小时二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（0n）是关于x的方程022nmxx的根，则nm的值为.12．若03ba，则22222(1)24baabbabab．13．某校为了解初三女学生的体能，随机抽查30名初三女学生，测试1分钟内仰卧起坐的次数，并绘制成（如图5）所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．14．如图6，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________．15．已知二次函数的图象经过原点及点1124，，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．16．图7中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20cm，滑块B距O点15cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了_________．次数人数12953015253545图515560ABC图6ABCDO图3OA北60°东图4MABO图7光线ABC图2水平线30°17．如图8，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，点C恰好在AB上，∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是_________．18．如图9，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的点E处压平后得到折痕MN，则当点E是CD的中点时，线段AM的长度为__________．三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图10，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP=2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S.试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐C图9NABDEFMACBDO图8ABCDPOQABCDPOQ图10在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票至少．．需11220元，并且学生家长与教师的人数之比为2∶1．文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票只能买到x张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？2011年全国初中数学竞赛（海南赛区）参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号12345678910答案CADACBDCAB提示：2.∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2.故选A.3.∵a+|a|=0,∴|a|=-a,∴a≤0，进而a-1≤0∴22)1(aa=|a-1|+|a|=-(a-1)-a=1-2a.故选D.4.∵直线y=-x-4不经过第一象限，∴无论m为何实数，直线y=x+m与y=-x-4的交点不可能在第一象限，故选A.8.如图2，由题意可知，∠ACB=90°，∠ABC=60°，则AB=2BC=8米,所以选择C.9.如图3，由已知可知△ABC与△BOC相似，可得OCBCBCAC，即BC2=AC·OC.设OA=BC=x，可得方程x2=x+1，解这个方程得2511x，2512x（不合题意，舍去）.故选A.10.如图4以点A为圆心，250km为半径画圆，交OM于点B、C，作AN⊥BC于点N，则可求出AN=150km，又AC=250km，利用勾股定理可求出CN=200km，则BC=400km，当台风中心在线段BC上时，A市都会受到台风的影响，所以A市受台风影响持续的时间为400÷20=20小时，所以选择B.二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11.因为n是关于x的方程022nmxx的根，所以022nmnn，所以0)2(mnn，又0n则02nm，所以则nm的值为－2.AOBC北东图4MNABC图6ABCDO图3光线ABC图2水平线30°60°12.222222(2)(2)2(1)242()baabbababababababababab，又03ba所以ba3所以原式=25323bbbb.13.由频率分布直方图可知，“25~45”的学生人数有21人，所以仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7.14.如图6，连接AC可知△ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC=45°.15.与原点的距离为1的交点有(1，0)或（－1，0），由此可求得该二次函数的解析式有两个，分别为：xxy2或xxy31312.16.如图7，由222222251520OBAOAB，可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25cm，故滑块B滑动了25－15=10cm.17.△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，点C恰好在AB上，所以可知OA=OC，∠AOC=∠BOD=40°,∴∠ACO=70°，又∠AOD=90°，∴∠BOC=10°,∴∠B=60°.18.如图9,连接BMEMBE，，．由题意得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE．∴EMBM∵点E是CD的中点，DE=1∴在RtABM△和在RtDEM△中，222AMABBM，222DMDEEM，∴2222AMABDMDE．设xAM，则xDM4，∴22221)4(2xx.解得813x,即813AM.三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）19.（1）证明：过点O作OM//AB交PC于点M，则∠COM=∠CAB.∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OC，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°,∴AP=2OM.又∵∠1=∠2,∴∠1+∠COM=∠2+∠CBD,即∠OMQ=∠OQM.∴OM=OQ∴AP=2OQ．（本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明）（2）根据题意作出图形，如图10所示①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F,则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°.又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2.NABCDEFM图9ABCDPEEOQM12GF3图10又PE由PC绕点P旋转形成∴PE=PC∴△EPF≌△CPB.∴EF=BP=x,∴AP=1－x∴xxEFAPSAPE)1(2121.∴△APE的面积S与x的函数关系式为xxS21212（10＜x＜）.ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作EG⊥AB交AB延长线于点G,则同理可得△EPF≌△CPB，EG=BP=x.∴△APE的面积S与x的函数关系式为xxS21212由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为xxS21212，（10＜x＜）②由①知S与x的函数关系式为xxS21212，（10＜x＜）即81)21(212xS，（10＜x＜）∴当21x时S的值最大，最大值为81．此时点P所在的位置是边AB的中点处．20.（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有m2人，依题意得：112205136817010)3(81nmnm解得18010nm则202m答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人．（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当210180x＜时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（180x）名成年人买二等座火车票，)210(x名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：)210(81)180(6818051xxy即1395013xy（210180x＜）②当1800＜x＜时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共)210(x张．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：)210(8151xxy即1701030xy（1800＜x＜）（3）由（2）小题知，当210180x＜时，1395013xy，由此可见，当209x时，y的值最小，最小值为11233元，当180x时，y的值最大，最大值为11610元．当1800＜x＜时，1701030xy，由此可见，当179x时，y的值最小，最小值为11640元，当1x时，y的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．