2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题及参考答案

蕴秀斋 上善若水  2011年新知杯上海市初中数学竞赛参考答案   一、填空题（每题10分，共80分）  1、已知关于x的两个方程：230xxm…①，20xxm…②，其中0m。若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是        。解：由题意设方程①、②分别有根3,aa，则2(3)(3)30aam，即230aam，且20aam，相减可得2220aa，故0,1a，代入可得0m或2。  2、已知梯形ABCD中ABCD，90ABC，BDAD，5,13BCBD，则梯形ABCD的面积为        。 解：由勾股定理12CD，由于BDCABD，故BDCABD，相似比为1213CDDB，由于1512302BCDS，故21312ADBBCDSS，所以 2131565513065122424ABCDS。  3、从编号为1,2,3,4,5,6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出卡片编号都大于等于2的概率为        。 解：总共有3620C种取法，三张编号都大于等于2的有3510C种，故概率为101202。  4、将8个数7,5,3,2,2,4,6,13排列为,,,,,,,abcdefgh，使得22()()abcdefgh的值最小，则这个最小值为        。 解：设xabcd，yefgh，则8xy。22642xyxy，因此要513ACBD蕴秀斋 上善若水  求xy尽量大，当然就要求,0xy，且尽量接近。由于无法凑出两个4，因此135323，24675为最佳，所以22223534xy为最小值。  5、已知正方形ABCD边长为4，,EF分别在,ABBC上，3,2AEBF，,AFDE交于G，则四边形DGFC的面积为        。  解：如图作,EG作AB的垂线,EHGK。 则32AEEHBFAB。故38HGEHGAAD，因此831211211GK，所以4ABFS，6ADES，1811AGES。  因此187164671111DGFCS。   6、在等腰直角三角形ABC中，90ACB，P是ABC内一点，使得11,7,6PAPBPC，则AC边长为        。 解：如图，以C为中心将P顺时针旋转90到P。则62PP，因此222APAPPP，故90APP，因此135CPA，由余弦定理2267267cos13585422AC 7、有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分。比赛结束后发现每名选手得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45，则第二名选手的得分是        。 解：每名选手参加9场比赛，每场平均分为，因此平均分为9分。后五名选手之间的小循环有2510C场比赛，因此后五名选手得分总值25220C，故第二名得分16。由于第一名最多得18分，所以第二名最多得17，而他的得分是偶数，故实际得分16。  42231GHEFCBADK116767P'CABP蕴秀斋 上善若水  8、已知,,,abcd都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则abcd的最小值为        。 解：35个连续正整数之和为35x（x是正中间的那个数），因此,,,abcd中有5,7，不妨设5,7ab，则xcd。由于中间数18x，故18cd，现在要求cd最小，故37,55满足要求。因此abcd的最小值为571022。   二、解答题（第9、10题每题15分；第11、12题每题20分，共70分）   9、如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知60DAC，DAC的平分线与DC交于S，直线,OSAD相交于L，直线BL与AC交于M。求证：SMLC。 证明：不妨设ADa，由已知ADO是正三角形，因此ADSAOS，故2ALACa，所以LDBCa，因此BCLD是平行四边形，故BDLC。  由于12CMBCAMAL，2ACa，所以23aCM，故13OMa。 由角平分线定理2CSACCMSDADMO，因此SMDO，故SMDB，所以SMLC。    10、求所有正整数组abcdef，使得!!!!!!abcdef。 解：由已知!!ab，故ab，因此也有1ba。而!(1)!!5!abaaab，所以5a。又因为!5!5af，所以3a。  若3a，则2b，又由于3!5!b，故2b，只能有2b，因此4!!!!cdef也只能有1cdef，得到一组解(,,,,,)(3,2,1,1,1,1)abcdef。  若4a，4!!!!!!4!bcdefe，故2e，所以!!!!!33!22!4!!bcdefa，矛盾。 60°••MSLBCODA蕴秀斋 上善若水  若5a，则4b，由于5!5!b，因此4b，并且等号成立。故只能有4bcdef，得到一组解(,,,,,)(5,4,4,4,4,4)abcdef。  综上所述，(,,,,,)(3,2,1,1,1,1),(5,4,4,4,4,4)abcdef是全部解。   11、①求证：存在整数,xy，满足2242022xxyy。 ②是否存在整数,xy，满足2242011xxyy？请证明你的结论。 证明：①43,1xy满足2242022xxyy。 ②由于20,1(mod4)x，20,1(mod4)y，所以2240,1,2(mod4)xxyy，由于20113(mod4)，所以不存在满足2242011xxyy的整数,xy。  12、整数1n，它的所有不同的素因子为12,,...,kppp，对于每个1ik，存在正整数ia使得1iiaaiipnp。记1212()...kaaakpnppp，例如62(100)2589p。 ①试找出一个正整数n，使得()pnn； ②证明：存在无穷多个正整数n，使得11()10pnn。 证明：由已知iaiinpp，因此12111()...kpnnppp。 由于11111.12357，因此只要2357210nkk，则n的素因子中就含有2,3,5,7，所以121111111()...1.12357kpnnnnppp。 综上所述，存在无穷多个正整数n，使得11()10pnn。