2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案

2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（▲）A．.72B．.72C．3D．0.3解:求出的平均值实际平均值.725015015）（,选B．2．设集合12{|log(1)2}Axx，2{|21}xxBx，则AB等于（▲）A．{|0,13}xxx或B．{|3}xxC．{|10,13}xxx或D．{|01}xx解：可得{|13}Axx，{|0,1}Bxxx或，所以AB{|10,13}xxx或，选C．3．已知sinsin，则与的关系是（▲）A．或B．2,kkZC．(21),kkZD．(1),kkkZ解:由于sinsin,与的终边位置相同或关于y轴对称,所以2,kkZ或(21),kkZ,合并得(1),kkkZ．选D．4．下列函数中在区间0,4上单调递增的是（▲）A．21logsin62yxB．21logsin262yxC．1sin262yxD．3sin6yx解：将选择支中各函数用区间0,4逐一检验知，只有C中函数满足要求．选C．5．若sin50tan50sin50tan50yxxy则（▲）A．0xyB．0xyC．0xyD．0xy解：因为0sin501，tan501，可知函数()sin50tan50ttft单调递减，已yCCBAOx知不等式即()()fxfy，所以xy，选A．6．函数()ln|1|3fxxx的零点个数为（▲）A．0B．1C．2D．3解：()0ln|1|3fxxx，所以()fx的零点个数即函数ln|1|yx与函数3yx的交点的个数，作图可知有3个交点，选D．7．记O为坐标原点，已知向量(3,2)OA，(0,2)OB，又有点C，满足52AC，则ABC的取值范围为（▲）A．06，B．03，C．02，D．3，6解：52AC，点C在以点A为圆心，52为半径的圆周上．可得5AB，如图可知，当直线BC与圆周相切时，ABC有最大值为6，当ABC，，三点共线时ABC有最小值为０，所以ABC的取值范围为06，．选A．8．已知kZ，(2,2)AC，(,2)ABk，5AB，则ABC是直角三角形的概率是（▲）A．19B．29C．18D．14解：由5AB与ABC构成三角形及kZ知4,3,2,1,0,1,3,4k，可得(2,0)BCk．AC与AB垂直，则2k；若AC与BC垂直，则2k（舍去）；若BC与AB垂直0k，或2k（舍去）；综上知，满足要求的k有２个，所求概率为14．故选D．321-1-2-3-4-4-2246Oxy9．设222221Sxxyyx，其中,xRyR，则S的最小值为（▲）A．1B．1C．34D．0解1：22(22)(21)0xyxyS，由22224210yyS得22Syy2111y．当且仅当1,2yx时，min1S．选B．解2：222221Sxxyyx2222(1)(1)2xyxyyy221111xyy．当且仅当1,2yx时，min1S．选B．10．点Q在x轴上，若存在过Q的直线交函数2xy的图象于,AB两点，满足QAAB，则称点Q为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（▲）A．x轴上仅有有限个点是“Ω点”；B．x轴上所有的点都是“Ω点”；C．x轴上所有的点都不是“Ω点”；D．x轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．解1：设0Qa（，），112xAx，，222xBx，，因为QAAB，所以212xxa，21222xx，得121,2xaxa．即对于x轴上任意0Qa（，）点，总有112aAa（，），222aBa（，）满足题设要求，故选B．解2：（动态想象）：任取x轴上Q点，将直线l由x轴位置开始绕Q点逆时针旋转2，l与函数2xy的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点,AB（由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在||||QAAB由正到负的过程中必将经历零点．当||||0QAAB时，即有QAAB，所以x轴上所有的点都是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是▲．解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为38．12．如图执行右面的程序框图，那么输出的S值为▲．解：22222113579553S．13．函数[sin]()3xfx的值域是▲．（其中[]x表示不超过实数x的开始0,1Si213SSi2ii10?iS输出否是(12题图)结束最大整数）解：1sin1x，所以sinx的所有可能取值为1,0,1，从而()fx值域为1,1,33．14．已知定义域为R的函数()yfx对任意xR都满足条件4fxfx（）+（）=0与22fxfx（）（）=0，则对函数()yfx，下列结论中必定正确的是▲．（填上所有正确结论的序号）①()yfx是奇函数；②()yfx是偶函数；③()yfx是周期函数；④()yfx的图象是轴对称的．解：由22fxfx（）（）=0知()fx有周期4T，于是4()fxfxfx（）（），知()fx为奇函数，填①③．15．若n为整数，关于x的方程2011(2011)()10xxn有整数根，则n▲．解：设0xx为方程的整数根，则201100(2011)()1xxn，必有00120111xnx或00120111xnx得2009n或2013n．16．()yfx是定义域为R的函数，(1)5gxfxfx（）（），若函数ygx（）有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为▲．解：gxgx（4-）（），ygx（）有对称轴2x，故4个零点和为8．17．求值：sin6sin78sin222sin294▲．解1：如图，构造边长为1的正五边形ABCDE，使得(cos6,sin6)AB，则依次可得(cos78,sin78)BC，(cos150,sin150)CD，(cos222,sin222)DE，(cos294,sin294)EA，由于0ABBCCDDEEA，所以sin6sin78sin150sin222sin2940，从而1sin6sin78sin222sin294sin1502．解2：原式sin6sin294sin78sin2222sin150cos1442sin150cos72（17题图）YAEDCBOX2sin150cos144cos722cos108cos362sin18cos36sin36cos36cos18sin7212cos182．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分）已知函数2()sin23sincossinsin44fxxxxxx．⑴求()fx的最小正周期和()fx的值域；⑵若0xx002x为()fx的一个零点，求0(2)fx的值．解：⑴2()sin23sincossinsin44fxxxxxx1cos222223sin2sincossincos22222xxxxxx13sin2cos22xx12sin262x．…………………………………………………..4分所以()fx的最小正周期T；……………………………..……….…..5分由1sin216x，得()fx的值域为35,22．…………………..7分⑵1()2sin262fxx，由题设知0()0fx01sin264x，….8分由005022666xx，结合0sin206x知02066x，可得015cos264x．…………………………………………………..10分00sin2sin266xx00sin2coscos2sin6666xx1315142421538，………………………...………..12分00cos2cos266xx00cos2cossin2sin6666xx1531142423518，……………………………..………..14分00000sin4sin2cos2cos2sin2666xxxxx153158435118473516001(2)2sin462fxx7351216211358．……….……..16分19．（本题满分17分）设函数2()3fxxbx，对于给定的实数b，()fx在区间2,2bb上有最大值()Mb和最小值()mb，记()()()gbMbmb．⑴求()gb的解析式；⑵问b为何值时，()gb有最小值？并求出()gb的最小值．解：⑴22()324bbfxx，抛物线开口向上，其对称轴方程为2bx，下面就对称轴与区间2,2bb端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分①当403b时，222bbb且(2)(2)22bbbb，此时2()(2)261Mbfbbb，2()34bmb．29()644gbbb．…3分②当403b时，222bbb且(2)(2)22bbbb，此时2()(2)261Mbfbbb，2()34bmb．29()644gbbb．…5分③当43b时，22bb，()fx在区间2,2bb上递增，此时2()(2)261Mbfbbb，2()(2)261mbfbbb．()12gbb．…7分④当43b时，22bb，()fx在区间2,2bb上递减，此时2()(2)261Mbfbbb，2()(2)261mbfbbb．()12gbb．…9分综上所得22412,;39464,0;43()9464,0;43412,.3bbbbbgbbbbbb………………………………………………10分⑵当43b时，4()12163gbbg；……………