2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案

2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x时，函数3()|3|fxxx的最大值为____________.2、在ABC中，已知12,4,ACBCACBA则AC____________.3、从集合3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知a是实数，方程2(4)40xixai的一个实根是b（i是虚部单位），则||abi的值为____________.5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线:C221124xy的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于,AB两点.若FAB的面积为83，则直线的斜率为____________.6、已知a是正实数，lgaka的取值范围是____________.7、在四面体ABCD中，5ABACADDB,3BC,4CD该四面体的体积为____________.8、已知等差数列na和等比数列nb满足：11223,7,abab334415,35,abab则nnab____________.（*nN）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有____________种.10、三角形的周长为31，三边,,abc均为整数，且abc，则满足条件的三元数组(,,)abc的个数为____________.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC中，角,,ABC对应的边分别为,,abc，证明：（1）coscosbCcBa（2）22sincoscos2CABabc12、已知,ab为实数，2a,函数()|ln|(0)afxxbxx.若(1)1,(2)ln212efef.（1）求实数,ab；（2）求函数()fx的单调区间；（3）若实数,cd满足,1cdcd，求证：()()fcfd13、如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,1,1ABOB.线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.14、设是,,,abcd正整数，,ab是方程2()0xdcxcd的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x时，函数3()|3|fxxx的最大值为__18___.2、在ABC中，已知12,4,ACBCACBA则AC___4____.3、从集合3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______.4、已知a是实数，方程2(4)40xixai的一个实根是b（i是虚部单位），则||abi的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线:C221124xy的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于,AB两点.若FAB的面积为83，则直线的斜率为___12____.6、已知a是正实数，lgaka的取值范围是___[1,)_____.7、在四面体ABCD中，5ABACADDB,3BC,4CD该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列na和等比数列nb满足：11223,7,abab334415,35,abab则nnab___132nn___.（*nN）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,abc均为整数，且abc，则满足条件的三元数组(,,)abc的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC中，角,,ABC对应的边分别为,,abc，证明：（1）coscosbCcBa（2）22sincoscos2CABabc12、已知,ab为实数，2a,函数()|ln|(0)afxxbxx.若(1)1,(2)ln212efef.（1）求实数,ab；（2）求函数()fx的单调区间；（3）若实数,cd满足,1cdcd，求证：()()fcfd13、如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,1,1ABOB.线段AB交圆O于另一点C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围.14、设是,,,abcd正整数，,ab是方程2()0xdcxcd的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.