2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知21a，32b，62c，那么,,abc的大小关系是（C）A.abcB.acbC.bacD.bca解答：21121121a，13232b，216262312c，由21显然：bac2．方程222334xxyy的整数解(,)xy的组数为（B）A．3.B．4.C．5.D．6.解答：222222223232()234xxyyxxyyyxyy由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+29=34故5555544444xyxyxyxyxyyyyyy、，由、、、得4444=9=1=9=1yyyyxxxx、、、共4组解。3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（D）A．63B．53C．263D．253解答：如图，做GH⊥BE于H，易证Rt△ABE∽Rt△GHB，设GH=a，则HE=a，BH=2-a，由GHBHa2-a2==a=ABBE123得解得，故BG=253。4．已知实数,ab满足221ab，则44aabb的最小值为（B）A．18.B．0.C．1.D．98.解答：44222222219=2=21=2()48aabbabababababab2（）考查以ab整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab其对称轴为14ab由22222020abababab和知1122ab又1111()4242，故当12ab时，函数取最小值0。5．若方程22320xpxp的两个不相等的实数根12,xx满足232311224()xxxx，则实数p的所有可能的值之和为（B）A．0.B．34.C．1.D．54.解答：方程22320xpxp两个不相等的实数根故22(2)4(32)412801ppppp解得-2。HGFEBDAC12,xx满足12122,32xxpxxp故222121212()2xxxxxx=2242(32)464pppp332212121122()()xxxxxxxx2322(4632)8184ppppppp由232311224()xxxx得223312124xxxx即2324648184ppppp=4整理得(41)(2)0ppp解得12310,,24ppp∵1p-2∴214p.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd（数字可重复使用），要求满足acbd.这样的四位数共有（C）A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.解答：分为4类：1）由同一个数字组成如1111共4个数2）由两个不同数字组成如1221112221122211而从4个数里面取2个共六种取法故此类可构成46=24个数3）由三个不同数字组成如1232321221232321此类只有两种组合即1+3=2+2和2+4=3+3故可构成24=8个数4）由四个不同数字组成如12431342421343122134243131243421共8个综上所有的数共4+24+8+8=44个二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,abc满足111abctbca，则t1．解答：由111abctbca得1bta，1atca，11atttaa整理得3222210attataat即22(1)(1)0taat同理得：22(1)(1)0tbbt22(1)(1)0tcct若210t，则,,abc为二次方程210xxt的解这与,,abc互不相等矛盾，不满足题意，故210t即21t2．使得521m是完全平方数的整数m的个数为1．解答：521m=1(21)21221mmm，由题知521m为完全平方数，故设2222121mmaa1）若222,22mmaa得22(1)224mmm解得2）222,221mmaam解得不合题意。综上符合题意的m只有一个。3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则BCAP＝3．解答：如上图，作AD⊥BC于点D，交CP于点F，在AD上找点D，使∠ECD＝30°，如上图，∵∠1＝∠2=12∠BAC=20°，∠3=20°∴∠4=70°-20°-30°=20°∴AF=FC,△APF≌△CEF.在Rt△DEC中3cos5cos302CDCE，故BC23APCDCE4．已知实数,,abc满足1abc，4abc，22243131319abcaabbcc，则222abc＝332．解答：22111=313331aabcaaabcabcbcabcabcaabcbc11111(1)()aabcbcbcbcbbc同理：22111,313(1)(1)313bcbbbacaccccab211313(1)(1)ccccabab故1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9abaccb化简得：914abcacbcababc解得：12222acbcab由2222()2224abcabcabbcac得：2221331622abc第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,abc（abc），则30abc.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值.由abc及30abc得303abcc，所以10c.由abc及30abc得302abcc，所以15c.又因为c为整数，所以1114c.根据勾股定理可得222abc，把30cab代入，化简得30()4500abab，所以22(30)(30)450235ab，因为,ab均为整数且ab，所以只可能是22305,3023,ab解得5,12.ab所以，直角三角形的斜边长13c，三角形的外接圆的面积为1694.二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：2ADBDCD.证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得2PAPDPO，2ADPDOD.又由切割线定理可得2PAPBPC，∴PBPCPDPO，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PDBDCDOD，∴2ADPDODBDCD.三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A1(,0)x、B2(,0)x（12xx）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M3(0,)2，若AM//BC，求抛物线的解析式.解易求得点P23(3,)2bbc，点C(0,)c.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3,)bm.显然，12,xx是一元二次方程2106xbxc的两根，所以21396xbbc，22396xbbc，又AB的中点E的坐标为(3,0)b，所以AE＝296bc.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得2AEPEDE，DPOABC即2223(96)()||2bcbcm，又易知0m，所以可得6m.又由DA＝DC得22DADC，即22222(96)(30)()bcmbmc，把6m代入后可解得6c（另一解0c舍去）.又因为AM//BC，所以OAOMOBOC，即223||3962|6|396bbcbbc.把6c代入解得52b（另一解52b舍去）.因此，抛物线的解析式为215662yxx.第二试（B）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,abc（abc），则60abc.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值.由abc及60abc得603abcc，所以20c.由abc及60abc得602abcc，所以30c.又因为c为整数，所以2129c.根据勾股定理可得222abc，把60cab代入，化简得60()18000abab，所以322(60)(60)1800235ab，因为,ab均为整数且ab，所以只可能是326025,6035,ab或2226025,6023,ab解得20,15,ab或10,24.ab当20,15ab时，25c，三角形的外接圆的面积为6254；当10,24ab时，26c，三角形的外接圆的面积为169.二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.证明：连接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得2PAPDPO，2ADPDOD.又由切割线定理可得2PAPBPC，∴PBPCPDPO，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴PDBDCDOD，∴2BDCDPDODAD，∴BDADADCD.又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知抛物线216yxbxc的顶点为P，与x轴的正半轴交于A1(,0)x、B2(,0)x（12xx）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移24(31)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.解抛物线的方程即2213(3)62byxbc，所以点P23(3,)2bbc，点C(0,)c.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为(3,)bm.显然，12,xx是一元二次方程2106xbxc的两根，所以21396xbbc，22396xbbc，又AB的中点E的坐标为(3,0)b，所以AE＝296bc.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得2AEPEDE，EDPOBCA即2223(96)()||2bcbcm，又易知0m，所以可得6m.又由DA＝DC得22DADC，即22222(96)(30)()bcmbmc