2012年全国高中数学竞赛(四川预赛试题及其解答)

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、设集合2|560Sxxx，|2|3Txx，则ST=（）A、{|51}xxB、{|55}xxC、{|11}xxD、{|15}xx2、正方体1111ABCDABCD中1BC与截面11BBDD所成的角是（）A、6B、4C、3D、23、已知2()23fxxx，()1gxkx，则“||2k”是“()()fxgx在R上恒成立”的（）A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形1的面积为1S，作1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为2，面积为2S，如此下去作一系列的正三角形34,,，其面积相应为34,,SS，设11S,12nnTSSS，则limnnT=（）A、65B、43C、32D、25、设抛物线24yx的焦点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则||||MOMF的最大值为（）A、33B、233C、43D、36、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（）A、rB、r2C、r312D、r315二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD相交于F，则FDDE的值是8、261()xxx的展开式中的常数项是．（用具体数字作答）9、设等比数列{}na的前n项和为nS，满足2(1)4nnaS，则20S的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角,AB满足tan()2tanABA，则tanB的最大值是．FEBCAD12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde，满足条件“abcde”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、设函数()sin3cos1fxxx，（I）求函数()fx在[0,]2上的最大值与最小值；（II）若实数cba,,使得1)()(cxbfxaf对任意Rx恒成立，求acbcos的值．14、已知,,abcR，满足()1abcabc，（I）求()()Sacbc的最小值；（II）当S取最小值时，求c的最大值．15、直线1ykx与双曲线221xy的左支交于A、B两点，直线l经过点(2,0)和AB的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．16、设函数2()(1)nnfxxx在1[,1]2上的最大值为na（1,2,3,n）．（I）求数列{}na的通项公式；（II）求证：对任何正整数(2)nn，都有21(2)nan成立；（III）设数列{}na的前n项和为nS，求证：对任意正整数n，都有716nS成立．参考解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、C2、A3、A4、B5、B6、D二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、328、59、010、1411、2412、215三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、解：（I）由条件知()2sin()13fxx，（5分）由02x知，5336x，于是1sin()123x所以2x时，()fx有最小值12122；当6x时，()fx有最大值2113．（10分）（II）由条件可知2sin()2sin()133axbxcab对任意的xR恒成立，∴2sin()2sin()cos2cos()sin(1)0333axbxcbxcab∴2(cos)sin()2sincos()(1)033abcxbcxab∴cos0sin010abcbcab,（15分）由sin0bc知0b或sin0c。若0b时，则由cos0abc知0a，这与10ab矛盾！若sin0c，则cos1c（舍去），cos1c，解得)12(,21kcba，所以，1cosacb．（20分）14、解：（I）因为2()()acbcabacbcc1()ababccabab（5分）122abab，等号成立的条件是1ab，当1,21abc时，S可取最小值2．（10分）（II）当S取最小值时，1ab，从而()1cabc，即2()10cabc，令tab，则22tab（15分）从而242ttc或者2402ttc（舍去）故224224ttctt在[2,)t单减，所以在2t时，c有最大值21．（20分）15、解：将直线1ykx与双曲线221xy方程联立得2211ykxxy化简得22(1)220kxkx①（5分）由题设知方程①有两负根，因此2212212248(1)0201201kkkxxkxxk，解得12k．（10分）设1122(,),(,)AxyBxy，则有12221kxxk，212122222()2211kyykxxkk故AB的中点为221(,)11kkk，所以直线l方程为21(2)22yxkk，其在y轴的截距b2222kk，（15分）当12k时，22117222()48kkk，其取值范围是(1,22)所以b2222kk的取值范围是(,22)(2,)．（20分）16、解：（I）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]nnnnfxnxxxxxxnxx，当1[,1]2x时，由'()0nfx知1x或者2nxn，（5分）当1n时，11[,1]232nn，又111()28f，(1)0nf，故118a；当2n时，11[,1]222nn，又211()216f，(1)0nf，故2116a；当3n时，1[,1]22nn，∵1[,)22nxn时，'()0nfx；(,1)2nxn时，'()0nfx；∴()nfx在2nxn处取得最大值，即2224()()22(2)nnnnnnannn综上所述，21,(1)84,(2)(2)nnnnannn．（10分）（II）当2n时，欲证2241(2)(2)nnnnn，只需证明2(1)4nn∵011222222(1)()()()nnnnnnnCCCCnnnn2(1)41212142nnn所以，当2n时，都有21(2)nan成立．（15分）（III）当1,2n时，结论显然成立；当3n时，由（II）知3411816nnSaaa2221111181656(2)n11111111()()()816455612nn1117816416．所以，对任意正整数n，都有716nS成立．（20分）