2012年全国高中数学联赛(甘肃)赛区预赛试卷

二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷(2012年6月24日上午9:00-11:30)考生注意:1、本试卷共两大题(12道小题),全卷满分120分.2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题(本题满分56分,每小题7分)1.空间四点A，B，C，D两两间的距离均为1，点P与点Q分别在线段AB与CD上运动，则点P与点Q间的最小距离为____________；2.向量1,0,1,1,OAOBO为坐标原点，动点,Pxy满足01,02OPOAOPOB则点,Qxyy构成的图形的面积为3.设有非空集合1,2,3,4,5,6,7A且当aA时，必有8aA，这样的集合A的个数是_____________；4.设,0,1,0xxxfxfxx其中x表示不超过x的最大整数，若0fxkxkk有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是5.11位数的手机号码，前七位数字是1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次,这样的手机号码有___________个；6.若122012tantantan1,xxx则122012sinsinsinxxx的最大值是；7.设函数:fRR，满足01f且对任意,xyR都有12fxyfxfyfyx，则fx；8.实数,,xyz满足2221xyz，则xyyz的最大值为；二、解答题(本题满分64分,第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9.已知数列na满足*1111nnnnaannNaa，且26a。（1）求数列na的通项公式；（2）设*,nnabnNcnc为非零常数，若数列nb是等差数列，记12,2nnnnnbcSccc，求.nS10.M是抛物线220ypxp的准线上任意点，过M作抛物线的切线12,ll，切点分别为A、B（A在x轴上方）。（1）证明：直线AB过定点；（2）设AB的中点为P，求｜MP｜的最小值。11.设,,abc为正实数，且1abc，求证：2221.2abcabcbcacab12.某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m，n的值．()