2012年全国高中数学联赛一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.1.设P是函数2yxx(0x)的图像上任意一点,过点P分别向直线yx和y轴作垂线,垂足分别为,AB,则PAPB的值是_____________.6.设()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()fxx.若对任意的[,2]xaa,不等式()2()fxafx恒成立,则实数a的取值范围是_____________.7.满足11sin43n的所有正整数n的和是_____________.8.某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.(用最简分数表示)二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.9.(本小题满分16分)已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa(1)若对任意xR,都有()0fx,求a的取值范围;(2)若2a,且存在xR,使得()0fx,求a的取值范围.10.(本小题满分20分)已知数列na的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有23331212()nnaaaaaa(1)当3n时,求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;(2)是否存在满足条件的无穷数列{}na,使得20132012?a若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.11.(本小题满分20分)如图5,在平面直角坐标系XOY中,菱形ABCD的边长为4,且6OBOD.(1)求证:||||OAOC为定值;(2)当点A在半圆22(2)4xy(24x)上运动时,求点C的轨迹.三、(本题满分50分)设012,,,,nPPPP是平面上1n个点,它们两两间的距离的最小值为(0)dd求证:01020()(1)!3nndPPPPPPn四、(本题满分50分)设1112nSn,n是正整数.证明:对满足01ab的任意实数,ab,数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab.这里,[]x表示不超过实数x的最大整数.[来源:21世纪教育网]2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.1.设P是函数2yxx(0x)的图像上任意一点,过点P分别向直线yx和y轴作垂线,垂足分别为,AB,则PAPB的值是.2.设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且满足3coscos5aBbAc,则tantanAB的值是.【答案】4[来源:21世纪教育网]3.设,,[0,1]xyz,则||||||Mxyyzzx的最大值是.【答案】21[21世纪教育网]【解析】不妨设01,xyz则.Myxzyzx因为2[()()]2().yxzyyxzyzx所以2()(21)21.Mzxzxzx当且仅当1,0,1,2yxzyxzy时上式等号同时成立.故max21.M4.抛物线22(0)ypxp的焦点为F,准线为l,,AB是抛物线上的两个动点,且满足3AFB.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则||||MNAB的最大值是.【答案】121世纪教育网【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AFBFMN在AFB中,由余弦定理得2222cos3ABAFBFAFBF2()3AFBFAFBF22()3()2AFBFAFBF22().2AFBFMN当且仅当AFBF时等号成立.故MNAB的最大值为1.5.设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球.若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45,则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是.6.设()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()fxx.若对任意的[,2]xaa,不等式()2()fxafx恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】[2,).7.满足11sin43n的所有正整数n的和是.【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当(0,)6x时,3sin,xxx由此得131sin,sin,1313412124131sin,sin.10103993所以11sinsinsinsinsin.13412111039故满足11sin43n的正整数n的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.8.某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率是.(用最简分数表示)二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.9.(本小题满分16分)已知函数131()sincos2,,022fxaxxaaRaa(1)若对任意xR,都有()0fx,求a的取值范围;(2)若2a,且存在xR,使得()0fx,求a的取值范围.10.(本小题满分20分)已知数列na的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有23331212()nnaaaaaa(1)当3n时,求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa;(2)是否存在满足条件的无穷数列{}na,使得20132012?a若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.11.(本小题满分20分)如图5,在平面直角坐标系XOY中,菱形ABCD的边长为4,且6OBOD.(1)求证:||||OAOC为定值;(2)当点A在半圆22(2)4xy(24x)上运动时,求点C的轨迹.【解析】因为,,OBODABADBCCD所以,,OAC三点共线如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有()()OAOCOKAKOKAK22OKAK2222()()OBBKABBK22226420OBAB(定值)(2)设(,),(22cos,2sin),CxyA其中(),22XMA则2XOC.因为2222(22cos)(2sin)8(1cos)16cos,2OA所以4cos2OA由(1)的结论得cos5,2OC所以cos5.2xOC从而sin5tan[5,5].22yOC故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为(5,5),(5,5)AB2012年全国高中数学联赛加试试题(A卷)一、(本题满分40分)21世纪教育网如图,在锐角ABC中,,,ABACMN是BC边上不同的两点,使得.BAMCAN设ABC和AMN的外心分别为12,OO,求证:12,,OOA三点共线。证法一:令1,12,kbmxby消去b得121.kymx由于1(2,)1,km这方程必有整数解;1002kxxtyymt其中00,(,)tzxy为方程的特解.把最小的正整数解记为(,),xy则12kx,故21,bmxa使(1)bb是2a的倍数.……40分证法二:由于1(2,)1,km由中国剩余定理知,同余方程组10(mod2)1(mod)kxxmm在区间1(0,2)km上有解,xb即存在21,ba使(1)bb是2a的倍数.…………40分证法三:由于(2,)1,m总存在(,1),rrNrm使21(mod)rm取,tN使1,trk则21(mod)trm存在1(21)(2)0,,trkbqmqN使021,ba此时1,21,kmbm因而(1)bb是2a的倍数.……………40分三、(本题满分50分)设012,,,,nPPPP是平面上1n个点,它们两两间的距离的最小值为(0)dd求证:01020()(1)!3nndPPPPPPn四、(本题满分50分)设1112nSn,n是正整数.证明:对满足01ab的任意实数,ab,数列{[]}nnSS中有无穷多项属于(,)ab.这里,[]x表示不超过实数x的最大整数.【解析】证法一:(1)对任意nN,有21111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n证法二:(1)21111232nnS121111111()()2212212nn22111111()()22222nn111112222n