2012年世界奥林匹克数学竞赛九年级试题

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛A卷---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1.每位考生将获得考题一份。考试期间，不得使用计算工具或手机。2.本卷共100分，填空题每小题5分，解答题每题10分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，所有考题及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简，并确保为真分数或带分数。九年级试卷（本试卷满分100分，考试时间90分钟）一．填空题。（每题5分，共60分）1.已知2113xx，则代数式13xx的值是_____________。2.若253yx，523yx，则xy=______________。3.方程x|x|－3|x|＋2=0的实数根个数为_______________。4.已知方程01222kkxx的两个实数根的平方和为429，则k的值是___________。5.已知5112xxx，则1242xxx的值是______________。6.已知01322ba，0232ab，且1ab，则baab1的值是___________。7.在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使13AEAB，14AFAD，连结EF交对角线AC于G，则ACAG的值是_______________。8.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，BC=a，AB=AC=AD=b，则BD的长是______________。（第8题）（第9题）（第10题）9.如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长是________________。10.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM＋PN的最小值是_____________。11.如图，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点，连结EC交DB、DF与G、H，则EG：GH：HC=________________。（第11题）（第12题）12.如图，已知AB是半径为1的⊙O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在⊙O内作正三角形ABC，点D为⊙O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交⊙O于点E，则AE的长为______________。二．解答题。（每题10分，共40分）1.已知x和y是正整数，并且满足条件xy+x+y=71，88022xyxy，求yx22的值。2.关于x的方程kx2－(k－1)x+1=0的解是有理数，求整数k的值。3.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠A=90°，E为腰AC的中点，点F在底边BC上，且EF⊥BE,求△FCE的面积。4.如图，已知AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，求AC的长。