2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答选择题答案1D2B3B4A5C6A填空题答案11223441285116637{1979,1985,1991,2003}82m2n2(m+n)21−191024一、选择题(满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方,答对得6分,答错或不答均计0分)1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={2,3,4,5,6},则集合C={(a,b)|a∈A,b∈B,且关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根}的元素个数为y(A)7.(B)8.(C)9.(D)10.•解当a>0,b>0时,x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为6a≥b.y=x5•而D设集合D={(a,b)|a∈A,b∈B},的元素个数为5×5=25个,C是D的子集,·因此,集合C的元素如下面的整点图中的黑点所示:4•··因此,C的元素个数等于10.3•···2•2.已知24−a−8−a=2,则24−a+8−a等于(A)7.解(B)8.(C)9.(D)10.24−a····•121•••24−a+8−a=()(−28−a)234••5x24−a−8−a=24−8=8.23.如图所示,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O,3k+1yy=x3k+1矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=的HCBx图像上,若A点的坐标为(−2,−2),则k等于OxFG(A)2.(B)1.(C)0.(D)−1.ADE解因为矩形的对角线平分矩形的面积,所以矩形CHOG的面积=矩形OFAE的面积=|−2|×|−2|=4.即3k+1=OG×GC=4,因此k=1.4.定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=−f(x),且在区间[−1,0]上递增,则(A)f(3)f(3)f(2).(B)f(2)f(3)f(3).第1页共5页(C)f(3)f(2)f(3).(D)f(2)f(3)f(3).解根据题意f(x)=−f(x+1)=−[−f(x+2)]=f(x+2),因为f(x)是偶函数,f(a)=f(−a),即则f(3)=f(1)=f(−1),f(2)=f(0),f(3)=f(−3)=f(2−3)=f(3−2).而−1<3−2<0,f(x)在区间[−1,0]上递增,所以f(3)f(3)f(2).5.由1开始的连续n个正整数相乘,简记为n!=1×2×…×n,如3!=1×2×3=6,123456710!=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800等等,则++++++等于2!3!4!5!6!7!8!71950394031940321(A).(B).(C).(D).72050404032040320n−1n111解因为=−=−,所以n!n!n!(n−1)!n!1234567++++++2!3!4!5!6!7!8!⎛21⎞⎛31⎞⎛41⎞⎛51⎞⎛61⎞⎛71⎞⎛81⎞=⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟⎝2!2!⎠⎝3!3!⎠⎝4!4!⎠⎝5!5!⎠⎝6!6!⎠⎝7!7!⎠⎝8!8!⎠1⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛11⎞⎛=⎜1−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟+⎜−⎟⎝2!⎠⎝2!3!⎠⎝3!4!⎠⎝4!5!⎠⎝5!6!⎠⎝6!7!⎠⎝7!8!⎠1140319=1−=1−=.8!4032040320�6.如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为劣弧CD上一点,PAP交BD于点M,PB交AC于点N,记∠PAC=θ,若MN⊥PA,则DM2cos2θ−tanθ的值等于CNOB(A)1.(B)解∴∵∵∴122.(C).(D).θ224A∵四边形ABCD是正方形,∠ACB=45º,DB⊥AC,∴∠APB=∠ACB=45º,MN⊥PA,∴∠MNP=∠APB=45º,∴MP=MN.AC为圆的直径,∴∠APC=90º,∴P、M、O、C四点共圆.AM·AP=AO·AC.因此AO2MN2⋅AO2−AM⋅MN2cosθ−tanθ=2⋅−=AM2AMAM2AO⋅AC−AM⋅MNAM⋅AP−AM⋅MN==AM2AM2AP−MNAP−PM===1.AMAM2第2页共5页二、填空题(满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方)1.求sin230�+sin235�+sin240�+sin245�+sin250�+sin255�+sin260�tan36�×tan339�×tan542�×tan745�×tan548�×tan351�×tan54�的值.解注意到sin2α+sin2(90º−α)=sin2α+cos2α=1,sin245º=1,2n为正整数时,tannα×tann(90º−α)=tannα×cotnα=(tanα×cotα)n=1,tan45º=1,则sin230�+sin235�+sin240�+sin245�+sin250�+sin255�+sin260�=3.5.tan36�×tan339�×tan542�×tan745�×tan548�×tan351�×tan54�2.f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),求f(−10)的值.解因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+2×0+b=0,得b=−1.由奇函数的性质f(−x)=−f(x),有若x<0,即−x>0,则−f(x)=f(−x)=2−x−2x−1,即f(x)=−2−x+2x+1(x<0).所以f(−10)=−2−10−2×10+1=−11−19=−19.102410243.若实数x,y,z满足方程x+9+x−7+位数字.解易见x≥7,则x+y−z=4,试确定(5x+3y−3z)2013的末4x+y−z≥0,又x,y,z满足方程4x+9+x−7≥4,而x+9+x−7+x+y−zx+y−z=0.=4,所以x+9+x−7=4,且44所以x=7,x+y−z=0,(5x+3y−3z)2013=142013,这个数的末位数字为4.4.如右图,正方形ABCD被分成了面积相等的8个三角形,D如果AG=50,求正方形ABCD面积的值.解过F作KL//DC,取AB的中点N,延长GN交AH于P,设正方形ABCD的边长为a,AFGPANHBEGHBCLIFCI1由于△DCI、△ABH的面积都是正方形ABCD面积的,所D8K1a以CI=BH=BC=.E44由△ADF的面积=△DCL的面积的2倍,得第3页共5页11AD×KF=2×CD×CI22所以KF=2CI=1a.所以F为DI中点.2易见,E是AF的中点,由△FAG、△FHG的面积相等,可得AP=PH,即FP为△FAH的一条中线,因此F、P,N是一条直线.同理可证,HG的延长线必过AE的中点E,所以HE为△FAH的另一条中线,中线1FG.2FP与HE的交点G为△FAH的重心,GP=1HI+AD2a+a3a注意FP为梯形AHID的中位线,FP//BC,所以FP===,所以2241aaa3aGP=FP=,所以GN=GP+PN=+=.34488a25a225a2⎛a⎞⎛3a⎞2而AN=,根据勾股定理,AG=⎜⎟+⎜⎟=有,50=即,所以a2=128.26464⎝2⎠⎝8⎠5.已知实数m、n满足m−n=10,m2−3n2为质数.若m2−3n2的最大值为a,最小值为b.试确定a−b的值.解设m2−3n2=p(p为质数)由m−n=10,得m=10+n,∴Δ=40−8p+80≥0,∴p≤15.∴p的最大值a=13,最小值b=2,∴a−b=11.6.在△ABC的边BC上有一点D,∠ADB是锐角,P、Q分别是△ABD、△ACD的外心,且四边形3APDQ面积是△ABC面积的.求sin∠ADB的值.422①②把②式代入①式得(10+n)2−3n2=p,整理得2n2−210n+p−10=0,解连结PQ,易证△AQP≌△DQP,由已知得S∆AQPS∆ABC3=,8S∆AQP⎛AQ⎞2易证:△APQ∽△ABC,所以=,S∆ABC⎜AC⎟⎝⎠所以AQ3=.AC22连结QC,作QH⊥AC于H,则第4页共5页∠ADB=∠ACD+∠CAD=1�1�1�1AD+CD=ADC=∠AQC=∠AQH.2222所以sin∠ADB=sin∠AQH=26=.337.S(x)表示自然数x的数字和,试确定方程x+S(x)+S(S(x))=2013的解集.解显然x<2013,S(x)最大为28,而S(S(x))最大为10,因此x最小为2013−38=1975.因此1975≤x<2013,容易试验得x=2003,S(2003)=5,S(S(2003))=5,2003+5+5=2013;x=1991,S(1991)=20,S(S(1991))=2,1991+20+2=2013;x=1985,S(1985)=23,S(S(1985))=5,1985+23+5=2013;x=1979,S(1979)=26,S(S(1979))=8,1979+26+8=2013.除此之外的x都不满足方程,所以解集是{1979,1985,1991,2003}.8.直角△ABC中,内切圆⊙O切斜边AB于D,切BC于E,切CA于F,作DK⊥AC于K,DP⊥BC于P,已知AD=m,BD=n,试确定矩形CKDP的面积(用m,n来表示).解设内切圆半径为r,连接OD,OE,OF,如图,则OD=OE=OF=r.由切线长定理得BPEC•OnDmAAD=AF=m,BD=BE=n,CE=CF=r.设△ABC的半周长为p,面积为S,则p=r+m+n,所以S=(r+m)(r+n).2FK即2S=r2+rm+rn+mn=r(r+m+n)+mn=rp+mn.因为S=rp,代入上式得S=mn.因为DK//BC,所以△ADK∽△ABC,所以S∆ADKm2m2m3n=S∆ABC×=mn×=,(m+n)2(m+n)2(m+n)2n2n2mn3=S∆ABC×=mn×=,(m+n)2(m+n)2(m+n)2同理可得S∆BDPm3nmn32m2n2因此,矩形CKDP的面积=mn−.−=(m+n)2(m+n)2(m+n)2第5页共5页