2013年广西高一数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

12013年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知实数cba,,两两不等，若aczcbybax−=−=−，则实数=++zyx（）.（A）－1（B）0（C）21（D）3答：B.解析：设kaczcbybax=−=−=−，则有)(),(),(ackzcbkybakx−=−=−=，于是有0=++zyx.2．化简232532233232−−−−−=（）.（A）0（B）1（C）2（D）3答：A.解析：分母有理化得：0)232(10563)3223()23(2232532233232=+−×+−+=−−−−−3．已知集合},36|{ZxNxxA∈∈−=，则集合A中的元素个数为（）.（A）1（B）2（C）3（D）4答：D.解析：}2,1,0,3{},36|{−=∈∈−=ZxNxxA.4．从1，2，…7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法有（）种.(A)6(B)7(C)8(D)9答：B.解析：注意到，2+4+6=12，故所取出的数之和不大于24.又12=2+4+6=5+7，10=4+6=3+7，8=2+6=1+7=3+5，6=6=2+4=1+5，4=4=1+3，故有7种取法.5．若0,2+∈aaRa，那么22,,,aaaa−−的大小关系为（）.（A）aaaa−−22（B）aaaa−−22（C）22aaaa−−（D）22aaaa−−答：B.解析：由010)1(2−⇒+=+aaaaa，即2aa−，又aa−2，得B.26．观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20137的末两位数字为（）.（A）01（B）43（C）07（D）49答案：C.解析：xxf7)(=，,16807)5(,2401)4(,343)3(,49)2(,7)1(=====fffff，07)2013(=f。二、填空题（每小题9分，共54分）1．若22234)(48DCxxxBxAxx++=+−++，则DCBA+++＝.答案：4.解析：由22234)(48DCxxxBxAxx++=+−++得，43243222842(2)2xAxBxxxCxCDxCDxD++−+=+++++.于是222,2,82,4ACBCDCDD==+−==.从而解得“D=2，C=-2，B=8，A=-4，或者D=-2，C=2，B=0，A=4”.因此答案为4.2．方程015=++−xx的根为.答案：3=x。解析：令1+=xy，代入015=++−xx得062=−+yy，解得2=y或3−=y(增根，舍去)，即3=x.3．若实数0,0yx，且)5(3)(yxyyxx+=+，则yxyxyxyx−+++32＝.答案：2.解析：由)5(3)(yxyyxx+=+得yx5=或yx3−=(舍去)，即yx25=，代入式子得结果.4．在△ABC中，D在AB上且使得AD:DB=1:2，而点G在CD上且使得CG:GD=3:2，若BG交AC于F，则BG:GF＝.答案：4:1.解析：过点D作DE//BF交AC于E，则△ADE∽△ABF，所以AD:AB=DE:BF=1:3，又△CGF∽△CDE，所以CG:CD=GF:DE=3:5，故5GF=BF，即BG:GF＝4:1.ABCGDFABCGDFE35．已知二次函数4)2(2++−+=mxxmy的图象与x轴的交点在y轴的一左一右，则实数m的取值范围为.答案：42−m.解析：由已知得⎩⎨⎧−+0402mm或⎩⎨⎧−+0402mm，得42−m.6．一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需2小时，逆流航行这段路程需3小时，那么一木块顺水漂流这段路需___________小时.答案：12.解析：设小船自身在静水中的速度为v千米/时，水流速度为x千米/时，甲乙之间的距离为S千米，于是有23SSvxvx+=−=，求得26Sx=所以12Sx=.(命题人:广西恭城县恭城中学数学组韦兴洲)三、（20分）在△ABC中，角C为直角，AD//BC，ED=2AB，求证：ABCABE∠=∠32.证明：取ED的中点F，连AF。则∠AFB=2∠ADE=2∠EBC，……5分又AF=AB，所以∠AFB=∠ABE，……10分所以ABCABE∠=∠32.……20分四.（20分）已知xyz、、均为非负数，且满足142.yzyzx+−=−−=若222wxyz=−+，求w的最小值.解：由题设得yx=−，230yx=−≥，230zx=−+≥.则2332x≤≤…………10分而222222872(2)1wxyzxxx=−+=−+=−−……………………………15分故当32x=时，min12w=−………………………………………………20分五.（20分）已知二次函数()xf满足(1)()2,fxfxx+−=且()10=f.（Ⅰ）求()xf的解析式.（Ⅱ）在区间[]1,1−上,()xf的图象恒在mxy+=2的图象上方，试确定实数m的范围.解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1.ABCEDABCEDF4∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.……5分即2ax+a+b=2x,所以221,01aaabb==⎧⎧∴⎨⎨+==−⎩⎩,∴f(x)=x2-x+1.……10分（Ⅱ）由题意得x2-x+12x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m0在[-1,1]上恒成立.设g(x)=x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=32,……15分所以g(x)在[-1,1]上递减.故只需g(1)0,即12-3×1+1-m0,解得m-1.……20分