2013年湖南省高中数学竟赛试题B卷

2013年湖南省高中数学竟赛试题B卷一、选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知RxxyyxM,1),(2，RxxyyxN,1),(2，则NM（C）A．1B．1,0C．)1,0(D．12．已知函数)(xfy的定义域为]4,1[，则在同一坐标系中函数)(xfy的图象与直线1x的交点个数为（B）A．0B．1C．2D．0或1均有可能3．若函数)2(2)2(22xxxxy，则当函数值8y时，自变量x的值是（D）A．6B．4C．6或4D．4或64．)(xf是定义在R上的以3为周期的偶函数，且0)2(f，则方程0)(xf在区间)6,0(内解的个数的最小值是（C）A．2B．3C．4D．55．函数322xxy在闭区间],0[m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（C）A．]2,(B．]2,0[C．]2,1[D．),1[6．已知实数a，b满足1ab，设baP1111，bbaaQ11，则P、Q之间的关系为（B）A．QPB．QPC．QPD．无法确定7．设n为正整数，nnx)11(，1)11(nny，则（C）A．xyyxB．xyyxC．xyyxD．以上都有可能8．已知Z为整数集，集合ZxxxA,3，ZxxxxB,05112，ZxxxxxC,23101122，则)(CCBAZ=（D）A．3B．4C．5D．5,4,39．与圆)(4)()(2222babyax，圆)(4)()(2222babyax都相切且半径为22ba的圆有（C）A．2个B．3个C．5个D．7个10．设n为正整数，则10021nnn的最小值是（A）A．2500B．4950C．5050D．5150二、填空题（本大题4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上。）11．若方程0162xx的两根分别为1x、2x，则21xx2。12．方程5121xx的解为3，8。13．设333201420132012cba，0abc，且3222201420132012cba=333201420132012，则cba1111。14．已知二次函数)(xf满足条件1)0(f，xxfxf2)()1(，则)(xf的解析式为)(xf=12xx。三、解答题（本大题5个小题，共66分，要求解答有必要的过程）15．（本小题满分12分）已知220131x，试求多项式201323)2011200884(xxx的值。解：由220131x，得201312x两边平方，并整理得02012442xx。又11)201244)(1(2011200884223xxxxxx，所以1)1()2011200884(2013201323xxx。16．（本小题满分12分）设0x，0y，623yx，试求xy的最大值。解：)0,0(2362236yxxyxyyx，当且仅当yxyx23623即231yx时取等号。所以23)(maxxy。17．ABC中，3,2ACABBC，中线AD的长为y，AB的长为x，试建立y与x的函数解析式，并求其定义域。解：依题意有)(2)2(2222ACABBCAD，即))3((22)2(2222xxy，整理得2732xxy。x满足xyyxyxxx111030，解得2521x。故2732xxy（2521x）。18．ABC的三边长分别为19,18,17ABCABC，过ABC内的P点向ABC的三条边BC、CA、AB分别作垂线段PD、PE、PF，且27AFCEBD，求BFBD的长度。解：令zAFyCExBD,,，则27zyx①又222222222222)17()18()19(PDxPEyPEyPFzPFzPDx三式相加并整理，得487191717zyx②联立①②解得1xz，所以18)(1919xzzxBFBD。19．给定两个正整数m，n，若正整数k使得存在一个以m2log，n2log和k2log为边长的三角形，我们便称k为“三角形好数”。现知恰存在100个三角形好数，试求mn的最大的可能值。解：不妨设nm，则nmknm2222loglogloglogmnknm又恰有100个三角形好数，则这些数必为100,,3,2,1mnmnmnmn。所以nmmnnmmn101100，即2221110111100101)11(100nmnnnmn，易知2n时，211101n取最大值3404，此时34043400mn。故当2,67nm时，134)(maxmn。