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2014年第1期 332013年全国高中数学联赛安徽赛区预赛中BB分类号文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2014)01-0033-03一、填空题(每小题8分,共64分) /_/T1.函数/⑷=\x +l\+\x~l\+乂4-无2的 ⑵证明:对任意的正整数、值域为 ? 均为整数.2.方程sinpOlSTraO =*2。13的实根个数为 夫考欠案3.化简 sin12。.sin48。.sin54。= (用 一、1.[2+^3,2^5].数字作答). 注意到,/U)是定义域为[-2,2]的偶函数.4.设数列ja?|满, 时,/⑷=2+单调舰,!;,=a2=1'an=#a-' 其值域为[2+万,4];则a2013- ?5.设厶ABC的外心P满足 当1分专2时,设0=arccosj.则^*_5(仙+4C)' f(x)=2x+y^4-x-4cos$+2sin6则cosZ5lC= ? =2^cos(0-arccosji\,6.已知复数 Z=x+yi(%、yeR),满足^ ^2+2 其值域为[2+万,2^].的实部与虚部之比为.则士的最大值为 综上,/⑷的值域为[2+万,2方].^ 2.4027.`mk 注意到,/(x)=sin(2013Tw)-一°13为奇函7.设(l+x+A^gcy,其中,C。,Cl,…,数,/⑷=0的根均在(-1,1)中.C3M为常数?则g?=—_? ,?由8.随机选$正11边形的三个不同顶点,其构 + 2fc+l、成锐角三角形的概率为 ? \Y013J0'-/l2013J0-二、解答题(共86分) f丄 )9. (21分)设正三棱锥的底面边长为1,侧棱 Zk+22k+1w长为2.求其体积和内切球半径. 且/⑷在而j上单调递减,知/⑷=010. (21分)求所有函数/:R-R,使得对任 (U+J_)意的:、y均,......0 在Y5lf,^“中恰有—个根.f(x+y)=f(x)+/(y)+2xy, 、20132013J且一-M、/⑷各/+ld士. 设fc=l,2,.??,1006.由11.(22分)设“、6、(;是不全为0的实数.求 “u、/茲F=的取值范围.a、b、C分别满足什 ?/I20l3)0'-/l2013J0,么条件时,F取最大值与最小值? 〔2k2fc+士、12. (22分)设数列1?丨满足 知/⑷=o^[^On'YoBJ中有根,且每个根无a!=l,a2=2,a?J1:?-1)(ra彡3). 均满足dn-2 i 1?2013(1)求数列的通项公式; sin(2013w)=x2m[14^6)^4 中等数学」2013|C^0,35^ 心、1为半径的圆.4026+4026282? 当上取最大值时直线Qp与圆相切.而/\x)=2013n:cos(2013roc)-2013^20120, x(况+丄) 由直线㈧的倾斜角为'得则/U)=0在旧中恰有—个根. x/.丄!、综上,/⑷=G的正根个数为2013,实根个 ^tan(Q6)-tan|arcsin^.6)数为4027. 丄_丄3.各. JjJ3-^2_4j2-3^3`8` =77^=77^=5^?由Sinl8。=$'得 73,49义sin12°.sin48°'sin54° 科,1 记/(*)=DcAx.则=T(cos36。-cos60。)cos36° *:。! ,①=士(1-cos36。+cos72。) J?i__±__1_i__?_/.=3,?4 k=o3=冬(2sin18。+l)sin18。=+. gX4o ?3.4.1-V5. 任取正11边形的三个顶点4、fi、C,若Z&4C为钝角,则弧小于半圆.此时,构成钝角三角=J3-19a4=2~J39as-2, 4,pr., 形的方式共有112](5-i)=110种,构成锐角三a6=1-^/J,a7=-1,a8=-1. 于是,a?+6=-o?. 角形的概率为i-票=4?从而,1、丨是以12为周期的周期数列. 3因此,《2。,3=a9=l-^3. 二、9.由题设知棱锥的高5-i- k=J22~iM=Jj'设/?为5C的中点.由题设知点P在线段仙 ,/T/rr上且点P与D不重合,则AB=AC. 其体积V=1X丁71=IT,故cosZ财C=cosZBra=盖=盖=士. 其表面积5=夸+1^1.￡4-J2-3^ -,y/rrb.5* 故内切球半径口令=厂化厂.注意到 石+3a/UZ+1J+1+yj 10.设g(*)=/(*)-*2.则对任意的X、y均有z+2*+2+yi g(x+y)=g(x)+g(y),J&lg(a:)I^Ixl2._(x+l+Yi)(x+2-Yi) 因此,对于任意的x和正整数《有(x+2+yi)(x+2-yi) 、,lg(似)l—區_(x+l)(x+2)+y+yi 丨客⑴丨-n?^^n.lX+2)2+y2? 令n—+oo,得g“)=0.从而,/U)=Z(*+l)(*+2)+y2-^3y=0 11.本题即求实数F使得方程./x3_\2/^\2_, Fa2+2Fb2+(3F-l)c2-ab+bc=0①12)V2) 有实数解(。,6,和(。,0,0).故动点/W)的轨迹綱(-ff)为圆 工0二0方0,显然有解2014年第1期 35当尸#0时,方程①有解(a,6,C)卢(0,0,0) 又?=9,得当且仅当不等式 an+1+an_!+2an+o?_2+2(c-a)2-SF[Fa2+(3F-1)c2]^0② ^=~^^=…有实数解(a,c)#(0,0). a3+o,+2不等式(2)有解(《一)#(0,0)当且仅当 =“-—~=6'8F-1矣0 on+i=6a?-a?_,-2.或(8F2-1)(24F2-8F-1)-K0. ③ 工注意到, 令、=an-I.则、+丨(8F2-1)(24F2-8F-1)-1 浦6A1+。2广|,其中入//=3±2^2=%F(2F-l)(\2F2+2F-1), ,“1^ '^/-,, ,为方程?=6^-1的两个根,Cl、C2是常数.且丄+ 丄i3 J12在12 △2由…=yA=Y,^ci=c2=1?不等式③成立当旦仅当“1 ? 因此,|a?l的通项公式为(3+2V5)1+(3-2及广1+2此时,c=(l-8F2)a,fc=g=2Fa. = 4 ?4r⑵注意到,特别地,当6=a,c=-a时'F取最大值当 ;_(3+2^)4'+(3-2^)4'_ _ Va2ft-i= 2b=~_—a,c=-—~时,尸取最小值 =I]C2;3k~l~2jx23j?o“^(及+i广1+(及-1广112 V2~ 2J212.(1)由 ..严_2?=a2n_,+2an.,+1, =§C=2;l°B-l°n+l=an+2fl?+1 均为整数.两式相减得 从而,命题得证.an-l(an+l+an-l+2)=(?-.-2+°?+2)0?. (王新茂王建伟提供)《中等数学》(2003—2012)精华本已出版发行由《中等数学》编辑部主编、浙江大学出版社出版发行的《髙中数学竞赛课程讲座》丛书巳经出版。丛书分《初等数论》《组合数学》《初等代数》《几何问题》《数学奥林匹克原创题集》共五个分册。本丛书精心挑选了《中等数学》近十年来刊登的“数学活动课程讲座”(高中)和“命题与解题”栏目的文章,目的是引导数学竞赛活动健康有序地发展。本丛书针对性强一选材涉及从国内到国际各层次数学竞赛教学知识点,对参与各个层次数学竞赛的学生具有较高的参考价值;权威性高——作者大多为全国著名高校研究奥林匹克数学竞赛的专家、学者,以及中学一线资深教师,他们立足通性通法传授,不仅授人以鱼,而且力求授之以渔;示范性强一作者在茫茫题:海中精挑细选,博彩世界各地优秀的竞赛试题,力求使材料具有典型性、指导性、示范性。 |书名|定价~1pww- 书名 定价丨邮购价初等数论 19 24 几何问题 36 41组合数学 22 27数学奥林匹克原创题集26 31初等代数 48 53 全套 151 151发行部地址:(3_4)天津市河西区吴家窑大街57号增1号电话:022-2354223315822631163开户行:中国建设银行天津河北支行 户名:娄姗姗账号:4367420061710117055蟀利褊辑都