2014年河南省初中数学竞赛预赛试题及答案

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则201520132014cba的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D．解：最大的负整数是－1，∴a=－1；绝对值最小的有理数是0，∴b=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴c=1.∴201520132014cba=201520131020141）（=0.2.已知实数zyx,,满足5422.xyzxyz，则代数式144zx的值是【】（A）3（B）3（C）7（D）7【答】A．解：两式相减得3-3-34413.xzxz，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1中的线段MN在图2中的对应线段是【】（A）a（B）b（C）c（D）d图2图1dcbaNM【答】C．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图NMBABA图2图1dcbaNM（第3题图）2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.4.已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，acb42，cba，cba，ba2中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上【答】C．解：由图象可得：0a，0b，0c，∴0ab，0ac，0bc.抛物线与x轴有两个交点，∴042acb.当x=1时，0y，即0cba.当x=1时，0y，即0cba.从图象可得，抛物线对称轴在直线x=1的左边，即12ab，∴02ba.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5.如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数xy1（x0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）xy81（x0）（B）xy41（x0）（C）xy21（x0）（D）xy1（x0）【答】B．解：如图，分别过点,AB分别做y轴的垂线,ANBM，那么ANO∽OMB，则.4)(2OBOASSOMBANO.81,2121OMBANOSANONS（第4题图）（第5题图）-11OyxOABxy41BMOM，故xy41.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1（B）2（C）3（D）6【答】B．解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，∴G为PS的中点,即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为421=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．已知223x，化简2)9(32xx得.【答】6-3x．解：∵223x，∴032x，09x，原式=63932xxx.8.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.SDCBAGFEPMNQRHK【答】256．解：设口袋中蓝色玻璃球有x个，依题意，得5296xx，即x=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=25610966.9.若214xxx，则2211xx=.【答】8．解：∵412xxx，∴31xx.则9)1(2xx，即7122xx.∴.81122xx10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=32，BO=DO=4，∴阴影部分面积=AOBCODOBDOACSSSS△△扇形扇形=OBDOACSS扇形扇形=360)32(9036049022=.11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1=.【答】122．解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，（第10题图）DCBAOA1EDCBA（第11题图）222121)4(9xBMBAMA，∴2)4(9x=2x，∴x=A1M=222，∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=122.12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d=5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数.∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d=5，∴m=20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有3461075zyx，zy2.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分∴34610145zzx，346245zx，即524346zx.∵x，y，z均为正整数，z24346≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4.…………………………………………………8分①当z为14时，524346zx=2，zy2=28.44zyx.②当z为9时，524346zx=26，zy2=18.53zyx.③当z为4时，524346zx=50，zy2=8.62zyx.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），,HDEPH于设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB.①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在RtAED中，.10,8,6EDADAE290,,.43.,.108655624.25AEDPHDPHDEADPDHEDAPHDEADxDHPHDHxPHxySSx…………………………………………………………5分（2）①//,ADBCEBF∽EAD.3.1068EFBF5,4.EFBF………………………7分若⊙1O与直线DE、AB都相切，且圆心1O在AB的左侧，过点1O作DFGO11于1G，则可设.1111rBOGO1111111,5334222EOFEBOEBFSSSrr.解得.231r…………………10分若⊙2O与直线DE、AB都相切，且圆心2O在AB的右侧，过点2O作DFGO22于2G，则可设.2222rBOGO.5102136)4(21.2121222222rrGODFDCFOSDFO）（）（解得.62r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15.如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA=AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；（2）连接PC，若PC+PE=32，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.OCBAyx图2MDOCBAxy图1EP....22.90.30,60.,//.,PEPAAEOBOAEOABCOCOCEOBCBOCAOBAOCBOCABOOCABABOAOBABOA垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC+PE=32，∴PC+PA=32.显然有OB=AC≤PC+PA=32.……………7分在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=x3，∴x3≤32，∴x≤2.即AB的最大值为2.…………………………10分(3)当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.过N作NF⊥x轴，垂足为F，∵A点坐标为（1，3），∴可设N点坐标为（a，a3），则DF=a－m，NF=a3，FC=4－a.∵△OMD∽△FND∽△FCN，.FCNFNFDFOMOD∴aaamam4331.解得，13434m，即当0m13434时，△MNC为钝角三角形；…14分②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形..3,1.30.//,,mODOMBOCODMOBMNMNCNBCOB∴当3m4时，△MNC为钝角三角形.综上所述，当0m13434或3m4时，△MNC为钝角三角形.…18分