2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题(3)

DENMCBAO2014年江苏省高中数学竞赛初赛模拟试题（3）一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）1、设132()cossincos222fxxxx，[,]64x，则()fx的值域为2、若函数21xfxx，且()[[()]]nnffxffffx个，则(8)1f3．在△ABC中，若tantan1AB，则sin(C－π12)＝____________4、设P是圆2236xy上一动点，点A(20,0),当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为_____________5、已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为直线BD外一点．设向量5OB，3OD，则()()OAOCOBOD的值是__________6、已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体1OMNB的体积为7、设等差数列{an}的前n项和为nS，若15160,0SS，则15121215,,,SSSaaa中最大的是8、实数,xy满足22236xyy，则xy的最大值是__________9、{a}表示实数a的正的小数部分，如：1.20.2,0.30.7,则方程lg(2)lg1xx在区间10,60上的根是10、不定方程11145xyz满足x≤y≤z的所有正整数解为______________________.二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11、已知单位圆与x轴正半轴交于点A，P,Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝π6，∠AOQ＝α,α∈[0,π).⑴若Q(35,45),求cos(α－π6)的值；⑵设函数f(α)＝→OP·→OQ，求f(α)的值域.12、如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.证明：连结AC，BD.证△BCD∽△OCA.CBCDCOCA⇒证△CDN∽△CAM1.22CNCDCBCBCNCBCMCACOCM⇒⇒.BNCN13、已知点(x，y)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的第一象限上运动．⑴求点(yx,xy)的轨迹1C的方程；⑵若把轨迹1C的方程表达式记为y=f(x)，且在(0,33)内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．14、设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m.解答：由题设条件知：m－n=p，p是质数，则m=n+p，设mn=n(n+p)=2x，其中x是正整数，那么22444npnx，即222(2)(2)nppx，于是2(22)(22)nxpnxpp，注意到p为质数，所以2221,22,nxpnxpp把两式相加得212pn，进而212pm，结合10002006m,可得64189p，于是，质数p只能是67，71，73，79或83.从而，满足条件的m为1156，1296，1369，1600，1764.