2014年吴川一中第五届高一数学竞赛试题及答案

2014年第五届“步青杯”数学邀请赛初赛试题(高一)说明：(1)全卷满分150分，共20小题；(2)时间：120分钟；(3)必须将所有答案写在答题卷上.一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分.1．设函数()lg(1)fxx的定义域为A，值域为B，则AB=().A．(0,)B．(1,)C．(0,1)D．(,1)2．sin2025().A．22B．12C．12D．223．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是().4．若直线l不平行于平面，且l，则().A．内的所有直线与l异面B．内不存在与l平行的直线C．内存在唯一的直线与l平行D．内的直线与l都相交5．定义在R上的函数()fx满足2log(16),0()(1),0xxfxfxx，则3f的值为().A．4B．2C．2log13D．46．已知a是函数xxfx21log2)(的零点，若ax00，则)(0xf的值满足().A．0)(0xfB．0)(0xfC．0)(0xfD．)(0xf的符号不能确定7．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，则该样本数据的众数、中位数和平均数分别为().A．101、101、101B．101.3、101.3、101.3C．101、101.3、101.3D．101、101.3、101(参考数据：0.2990.31010.251030.1510591.6)8．若点(1,0)A和点(4,0)B到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有().A．4条B．3条C．2条D．1条9．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)重合，则与点(5,8)重合的点是().A．(6,7)B．(7,6)C．(5,4)D．(4,5)10．定义区间(,),[,),(,],[,]abababab的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(2,1)[3,5)的长度[(1)(2)](53)3d．用[]x表示不超过x的最大整数，记{}[]xxx，其中xR．设()[]{}fxxx，()1gxx，当05x时，则不等式()()fxgx的解集区间的长度为().A．1B．2C．3D．4二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.11．某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组(1－5号，6－10号,…,196－200号).若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是.12．已知实数0m，函数2,1()2,1xmxfxxmx，若(1)(1)fmfm，则m的值为____.13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m的取值范围是________________.14．在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数()yfx的图象上；②P，Q两点关于直线yx对称，则称点对P，Q是函数()yfx的一对“和谐点对”.(注：点对{,}PQ与{,}QP看作同一对“和谐点对”).已知函数2232,0()log,0xxxfxxx，则此函数的“和谐点对”有对.15．若228()()3()3xaxfxxaxa为偶函数，则实数a.16．在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD，1ABBDCD，则该三棱锥外接球的表面积为.否是开始k=1S=0S=S+2kk=k+1结束输出kSm？三、解答题：共4小题，共70分.17．(本题满分15分)设222sincoscos()(12sin0)1sincos()sin()22f.(1)化简()f；(2)求(1)(2)(3)(89)ffff的值.18．(本题满分15分)汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下(单位：g/km).经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为120/xgkm乙.(1)从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130/gkm的概率是多少？(2)求表中x的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.19．(本题满分20分)一个几何体是由圆柱11ADDA和三棱锥EABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EAABC平面，ABAC，ABAC，2AE．(1)求证：ACBD；(2)求三棱锥EBCD的体积．20．(本题满分20分)已知函数2()lg(1)fxx，1()()2xgxm.(1)若存在1[0,3]x，对任意2[1,2]x，使得12()()fxgx，求实数m的取值范围；(2)若对任意1[0,3]x，存在2[1,2]x，使得12()()fxgx，求实数m的取值范围；(3)若对任意1[0,3]x，任意2[1,2]x，使得12()()fxgx，求实数m的取值范围；(4)若存在1[0,3]x，存在2[1,2]x，使得12()()fxgx，求实数m的取值范围.2014年吴川一中第五届“步青杯”数学邀请赛高一初赛参考答案一、选择题：1～4DACB5～8DBCB9～10AC1．D由10x得1x，即(,1)A，而10x知()fxR，即BR，于是(,1)AB.2．A2sin2025sin(3605225)sin225sin(18045)sin452.3．C俯视图是从上而下的投影，于是只有C正确.4．B由题意知直线l与平面相交，只有B正确.5．D由题意得2(3)(2)(1)(0)log164ffff.6．B由函数2xy与12logyx在(0,)上均为增函数，得12()2logxfxx在(0,)上均为增函数，又00xa，()0fa，则0()()0fxfa.7．C众数：1001021012；中位数：设中位数为x，有0.0520.12(100)0.150.5x，解得4100101.33x；平均数：0.052970.12990.1521010.12521030.07521050.1970.2990.31010.251030.151059.791.6101.3.8．B原题转化为圆22:(1)1Axy与22:(4)4Bxy的公切线的条数问题.画出图形知两圆外切，于是它们有3条公切线.9．A设(2,0),(2,4)AA，则AA的中点为(0,2)，而1AAk，则AA的垂直线平分线为:21(0)lyx，即2yx，设点(5,8)B关于直线l的对称点为(,)Bmn，则811585222nmnm，解得67mn，即与点(5,8)重合的点是(6,7).10．C①当01x时，[]0x，()[]{}0fxxx，由()()fxgx得01x，无解；②当12x时，[]1x，()[]{}1fxxxx，由()()fxgx得11xx，无解；③当23x时，[]2x，()2(2)24fxxx，由()()fxgx得241xx，则3x；∴23x；④当34x时，同理得34x；⑤当45x时，同理得45x；⑥当5x时，()[]{}0fxxx，由()()fxgx得051，即5x成立；综上，()()fxgx的解为25x，则523d.二．填空题：11．4212．3413．(12,20]14．215．1016．3ABCDO11．42∵第5组抽出22号，组距为200405，∴第5组抽出224542号.12．34当0m时，11,11mm，由(1)(1)fmfm得2(1)(1)2mmmm，即32m(舍去)；当0m时，11,11mm，由(1)(1)fmfm得(1)22(1)mmmm，即34m.13．(12,20]输入：1,0kS，输出：S：2，6，12，20.k：2，3，4，5.此时20m判断为“否”，于是20m，而12m判断为“是”，∴m的取值范围是1220m.14．2先作出()fx，再结合函数的图象考虑问题.作出函数()fx的图像，然后作出2()log(0)fxxx关于直线yx对称的图像，与函数2()32(0)fxxxx„的图像有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．15．10由()fx为偶函数得()()fafa，∴282()323aaaaaa，则282aaa，解得10a.16．3可推断得AC的中点为该三棱锥外接球的球心.如图，由AB平面BCD，AB平面ABD，得平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，CDBD，∴CD平面ABD，而AD平面ABD，∴CDAD，又ABBC，则222BCBDCD，∴223ACABBC，取AC的中点O，则OAOBOCOD，∴O是三棱锥ABCD外接球的球心，得23R，即32R，∴该三棱锥外接球的表面积为243SR.17．解：(1)∵cos()sin2，22sin()cos2，…………………………2分∴222cos(2sin1)cos(2sin1)cos(2sin1)()1sinsincos2sinsinsin(2sin1)fcossin；……………………………………………………………………………7分(2)(1)(2)(3)(89)ffff=cos1cos2cos45cos88cos89sin1sin2sin45sin88sin89………………………………………9分=cos1cos89cos2cos88cos45()()sin1sin89sin2sin88sin45………………………………………12分=cos1sin1cos2sin2cos45()()1sin1cos1sin2cos2sin45.……………………………………15分18．解：(1)从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：(80，110)，(80，120)，(80，140)，(80，150)，(110，120)，(110，140)，(110，150)，(120，140)，(120，150)，(140，150).………………………………3分设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：(80，140)，(80，150)，(110，140)，(110，150)，(120，140)，(120，150)，(140，150)，∴7()0.710PA.…………………………………………………………………6分答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7.……………………………7分(2)由题可知，4801201205xx乙，，解得120x.……………………9分又120x甲，………………………………………………………………………10分∴22222216005s甲（80-120）（110-120）（120-120）（140-120）（150-12