2015年华罗庚数学竞赛答案解析

EGFQBCADP2015年华罗庚数学联赛试题(初中组)一、选择题(本题满分42分，每小题7分)本题共有6小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分.1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为____________A．2418B．2400C．3618D．72481解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝24182．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）42．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，xy，均为非负整数.由题设可得2(2)2()xnyynxn，，消去x得(2y－7)n=y+4，2n=721517215)72(yyy.因为1527y为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．3．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.4．7＜x≤19A．5＜x≤17B．6＜x≤18C．7＜x≤19D．8＜x≤203解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，32x≤48798x≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．4、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作BPPQ，PQ交CD于Q，若2CQAP，则正方形ABCD的面积为（）A、246B、16C、2812D、324.解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP＝2，因此正方形ABCD的边长为222+，所以面积为2(222)1282+=+．故选C．5.如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=6，BC=33-，CD=6，则AD边的长为（）A．63B．43C．42D．33QPACBDDCAB学校班级姓名考号5解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=3，CN=3，DN=33，6MNBMBCCN=++=，所以222()ADMNDNAM=+-=48，所以AD=43．故选B．二.填空题（本大题满分28分,每小题7分）6..如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，则AB的长是．6解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．则CF=AB，则NF=32AB，过N作NH垂直AF于H，则AH=1322AN=，332NH=，故3132422HF=?=，23313()()722NF=+=．所以21433ABNF==．故填143．7．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d=5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.7【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数.∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d=5，∴m=20.8．如果关于x的方程x2+kx+43k2－3k+92=0的两个实数根分别为1x，2x，那么2012220111xx的值为．8．32解：根据题意，关于x的方程有=k2－4239(3)42kk≥0，由此得(k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+49=0，解得x1=x2=32.故2012220111xx=21x=23．9.解方程2|21|20xx---=．此方程的解为9解：当12x³时，原方程可化为2(21)20xx---=，解得112x=+，212x=-．又因为21122x=-，故应舍去．··············10分当12x时，原方程可化为2(21)20xx--+-=，解得33x=-，41x=．又因为4112x=，故应舍去．所以原方程的解为12x=+和3x=-．············20分三.解答题（本大题满分30分）10．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.NMDCABMNDACB10．8解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a.由题设易知△BFN∽△DAN，所以21ADANDNBFNFBN，由此得2ANNF，所以23ANAF.在Rt△ABF中，因为2ABaBFa，，所以225AFABBFa，于是25cos5ABBAFAF.由题设可知△ADE≌△BAF，所以AEDAFB，0018018090AMEBAFAEDBAFAFB.于是25cos5AMAEBAFa，245315MNANAMAFAMa，415MNDAFDSMNSAF.又21(2)(2)22AFDSaaa，所以2481515MNDAFDSSa.因为15a，所以8MNDS.11.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？11解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,∴，，即.∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4.①当z为14时，=2，=28..②当z为9时，=26，=18..③当z为4时，=50，=8..综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………14分12、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？12、解：（1）(24002000)8450xyx，即2224320025yxx．（2）由题意，得22243200480025xx．整理，得2300200000xx．得12100200xx，．要使百姓得到实惠，取200x．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于2224320025yxx，当241502225x时，150(24002000150)8425020500050y最大值．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．