2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(1)

2015年全国高中数学联赛一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.设,ab为不相等的实数,若二次函数2()fxxaxb满足()()fafb,则(2)f的值是2.若实数满足costan,则41cossin的值为3.已知复数数列{}nz满足111,1(1,2,)nnzzznin,其中i为虚数单位,nz表示nz的共轭复数,则2015z的值是4.在矩形ABCD中,2,1ABAD,边DC上(包括点,)DC的动点P与CB延长线上(包括点)B的动点Q满足||||DPBQ,则向量PA与向量PQ的数量积PAPQ的最小值为5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}Kxyxyxy所对应的平面区域的面积为7.设为正实数,若存在,(2)abab,使得sinsin2ab,则实数的取值范围是8.对四位数(19,0,,9)abcdabcd,若,,abbccd,则称abcd为P类数,若,,abbccd,则称abcd为Q类数,用()NP与()NQ分别表示P类数与Q类数的个数,则()()NPNQ的值为二、本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.9(本小题满分16分)若实数,,abc满足242,424abcabc,求c的最小值.10(本小题满分20分)设1234,,,aaaa是四个有理数,使得31{|14}{24,2,,,1,3}28ijaaij,求1234aaaa的值.11(本小题满分20分)在平面直角坐标系xOy中,12,FF分别是椭圆2212xy的左,右焦点,设不经过焦点1F的直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB,焦点2F到直线l的距离为d.如果直线11,,AFlBF的斜率成等差数列,求d的取值范围.加试本卷共4题,共180分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤12(本小题满分40分)设12,,,(2)naaan是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n使得222111()()(1)()nnniiiiiiiaana13(本小题满分40分)设12{,,,}nSAAA,其中12,,,nAAA是n个互不相同的有限集合(2)n,满足对任意,ijAAS,均有ijAAS,若1min||2iinkA,证明:存在1niixA,使得x属于12,,,nAAA中的至少nk个集合(这里||X表示有限集合X的元素个数)14(本小题满分50分)如图,ABC内接于圆,OP为BC上一点,点K在线段AP上,使得BK平分ABC,过,,KPC三点的圆与边AC交于点D,连结BD交圆于点E,连结PE并延长与边AB交于点F,证明:2ABCFCB15(本小题满分50分)求具有下述性质的所有正整数k:对任意正整数(1)1,2knn不整除()!!knn.