2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(2)

2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案一、填空题:本大题共10小题,每小题7分,共70分,请将答案填在答题卡的相应位置.1．已知ABC的外接圆半径为R，且BbaCARsin)2()sin(sin222（其中a、b分别是A、B的对边）.那么C的大小为___________.答案：45°2．集合{2135}Axaxa,{333}Bxx,()AAB,则a的取值范围是___________答案：28,41,3a.3．111102910111111666...61CCC被8除所得的余数是_____________.答案：54．在数列na中，122,10,aa对所有的正整数n都有21nnnaaa，则2015a.答案：-105．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.则二面角P—BD—A的大小为__________．答案：60°.6．设双曲线222210,0xyabab的左右焦点分别为12,FF，A是双曲线渐近线上的一点，212AFFF,原点O到直线1AF的距离为113OF,则双曲线的离心率为.答案：627．已知,ab两个互相垂直的单位向量，且1cacb,则对任意的正实数t，1||ctabt的最小值是____________.答案：78．若关于x的方程24xkxx有四个不同的实数解，则k的取值范围为____________.答案：14kk9．设x，y是正实数，且1xy，则2221xyxy的最小值是.答案：1410．设()fx是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴(1)1,(2)0ff；⑵对任意的,xy都有()()(1)(1)()fxyfxfyfxfy，则(2015)f=___________.答案：-1二、解答题（共5小题，满分80分）11．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin2(π4－x)－3cos2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若f(x)＜m＋2在x∈[0，π6]上恒成立，求实数m的取值范围．解析：（Ⅰ）∵f(x)＝1－cos(π2－2x)－3cos2x＝－(sin2x＋3cos2x)＋1＝－2sin(2x＋π3)＋1，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z可得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为[kπ－512π，kπ＋π12](k∈Z)．…………………7分（Ⅱ）∵x∈[0，π6]，∴π3≤2x＋π3≤23π，∴32≤sin(2x＋π3)≤1，∴当sin(2x＋π3)＝32时，f(x)取得最大值为1－3，即f(x)max＝1－3.要使f(x)＜m＋2恒成立，需f(x)max＜m＋2，∴1－3＜m＋2，解得m＞－1－3，∴m的取值范围是(－1－3，＋∞)．…………………14分12．（本小题满分14分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．解(1)当日需求量n≥16时，利润y＝80.当日需求量n16时，利润y＝10n－80.所以y关于n的函数解析式为y＝10n－80，n16，80，n≥16(n∈N)．…………………6分(2)①X可能的取值为60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②方法一花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．…………………14分方法二花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．13.（本小题满分16分）数列na满足12a，112()1()22nnnnnaanNna.（Ⅰ）设2nnnba，求数列nb的通项公式；（Ⅱ）设11(1)nncnna，数列nc的前n项和为nS，求nS.解：（Ⅰ）由已知可得1112()22nnnnnaana，即112212nnnnnaa，即112nnbbn而2121211111,2,,(1),222bbbbbbn累加得2111123(1)22nnnbbn，又22112111,122nnnbba…………………8分（Ⅱ）由（1）知112221nnnnabn，2122(1)1nnan，222211111(1)1122121111(1)22(1)22(1)2(1)2222(1)2nnnnnnnnnnnnnncnnnnnnnnnn231223111111111111()()()[]22222122222322(1)2nnnnSnn21111(1)1111112221()1222(1)222112nnnnnn…………………16分14.（本小题满分18分）已知函数.1)1(ln)(xxaxxf（Ⅰ）若函数()(0,)fx在上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）设2()0,:lnln.mnmnmnmn求证解析：（I）21(1)(1)()(1)axaxfxxx2222(1)2(22)1.(1)(1)xaxxaxxxxx………………5分因为()(0,)fx在上为单调增函数，所以()0(0,)fx在上恒成立.22(22)10(0,).1(0,),(22)10,22.111(),(0,).()22.1,1,()2.xaxxxaxaxxgxxxgxxxxxxxxgxx即在上恒成立当时由得设所以当且仅当即时有最小值2222.aa所以故a的取值范围是(,2].…………10分（II）2()lnln,mnmnmn要证只需证2(1)ln.1mmnmnn只需证2(1)ln0.1mmnmnn…………14分2(1)()ln.1xhxxx设由（I）知()(0,)hx在上是单调增函数，又1mn，2(1)()(1)0,ln0.1mmmnhhmnnn所以即成立所以.lnln2mnmnmn…………18分15．（本小题满分18分）已知椭圆C:222210yxabab的左右焦点设1F，2F与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C上任意一点P做椭圆C的切线与直线1FP的垂线1FM相交于点M，求点M的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP与直线x=-2交于点N，求证：11||||NFMF为定值.解析：（Ⅰ）依题意，2c=a=4，∴c=2，b=23；∴椭圆C的标准方程为2211612yx；……………4分（Ⅱ）设00(,)Pxy，由（Ⅰ），1(2,0)F，设00(,)Pxy，(,)Mxy过椭圆C上过P的切线方程为：0011612xxyy，①直线1FP的斜率1002FPykx，则直线1MF的斜率1002MFxky，于是，则直线1MF的方程为：002(2)xyxy，即00(2)(2)yyxx，②①②联立，解得x=-8，∴点M的轨迹方程为x=-8.…………………10分（Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M、N的坐标可表示为(8,)MMy、(2,)NNy，点N在切线MP上，由①式得003(8)2Nxyy，点M在直线1MF上，由②式得006(2)Mxyy，02022129(8)||4NxNFyy，022002221236[(2)]||[(2)(8)]MyxMFyy，∴002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)yxxNFMFyyxyx，③注意到点P在椭圆C上，即220011612xy，于是020484xy代人③式并整理得2121||1||4NFMF，∴11||||NFMF的值为定值12.……………18分