2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(2)

2015年全国高中数学联赛福建省预赛一、填空题:本大题共10小题,每小题6分,共6分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.设集合4{|0}3xAxZx,从集合A中随机抽取一个元素x,记2x,则随机变量的数学期望()E2.已知()()fxxgx,其中()gx是定义在R上,最小正周期为2的函数,若()fx在区间[2,4)上的最大值为1,则()fx在区间[10,12]上的最大值为3.设12,FF为椭圆2222:1(0)xyCabab的左,右焦点,若椭圆C上存在一点P,使得12PFPF,则该椭圆的离心率e的取值范围是4.已知实数,,xyz满足2222324xyz,则23xyz的最小值是5.已知函数2()cos2xfxx,数列{}na满足:*()(1)()nafnfnnN,则数列{}na的前100项之和100S6.如图,在四面体ABCD中,2,,DADBDCDADBDADC且DA与平面ABC所成角的余弦值为63,则该四面体外接球的半径R,7.在复平面内,复数123,,zzz对应的点分别为123,,ZZZ,若1212||||2,0zzOZOZ且123||1zzz,则3||z的取值范围是8.已知函数()()xxfxexae恰有两个极值点1212,()xxxx,则实数a的取值范围是9.已知函数2()2xfxmxnx,若{|()0}{|[()]0}xfxxffx,则mn的取值范围是10.若214sinsinsintan99929n,则正整数n的最小值为二、本大题共5小题,共100分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分20分)求函数22483yxxx的最小值.12(本小题满分20分)已知过点(0,1)P且斜率为k的直线l交双曲线22:13yCx于,AB两点.(Ⅰ)求k的取值范围;(Ⅱ)若2F为双曲线C的右焦点,且22||||6AFBF,求k的值.13(本小题满分20分)如图,,ID分别为ABC的内心,旁心,BC与圆I,圆D相切,,切点分别为,,EFG为AD与BC的交点.(Ⅰ求证:;AIGEADGF)(Ⅱ)若M为EF的中点,求证://AEDM.(旁心:三角形旁切圆的圆心,它是三角形的一个内角平分线和其它两个内角的外角平分线的交点)14(本小题满分20分)在坐标平面内,横,纵坐标都是整数的点称为整点,三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形.求以(2015,72015)I为内心且直角顶点为坐标原点O的整点直角OAB的个数.15(本小题满分20分)若对任意的正整数m,集合{,1,2,,99}mmmm的任意(3)nn元子集中,总有三个元素两两互素,求n的最小值.