2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(15)

2015年全国高中数学联赛天津市预赛一、选择题:本大题共6小题,每小题6分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设,,ABC是三个集合,则B和C都是A的子集是()()ABACBC成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必邀条件2.方程2||12yxx表示的曲线是A.一个圆B.两个半圆C.一个椭圆D.两个圆3.用[]x表示不大于x的最大整数,方程2[]20xx共有()个不同的实数根A.1B.2C.3D.44.方程35711xxxx共有()个不同的实数根A.0B.1C.2D.35.在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率是A.730B.920C.715D.8156.设ABC的周长为12,内切圆的半径为1,则A.ABC必为直角三角形B.ABC必为锐角三角形C.ABC必为直角三角形或锐角三角形D.该三角形不能确定为何种三角形二、填空题:本大题共6小题,每小题9分,共54分,请将答案填在题后的横线上.7.在正四棱锥PABCD中,四个侧面都是等边三角形,用记该四棱锥的侧面与底面所成的二面角,则tan8.设数列{},{}nnab都是等差数列,,nnAB分别是数列{},{}nnab的前n项和,若539nnAnBn,则88ab9.设O是坐标原点,点A是抛物线2114xy上的一个动点,点B是抛物线24yx上的一个动点,则OAB的面积的最小值是10.设201512kkSk,则S除以100的余数是11.设复数44cossin77zi,则23243||111zzzzzz(用数字作答)12.设,,,abcd都是实数,且满足23410abcd,则22222()abcdabcd的最小值是三、解答题:本大题共3小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分20分)设1()2fxxx.求证:对任意2(,1]2x,有2(())2ffxx.14(本小题满分20分)已知正ABC内接于抛物线2,xyABC的重心G落在双曲线1xy上,求点G的坐标.15(本小题满分20分)设数列{}na满足:121141,8,,2,3,4,nnnaaaaann.(Ⅰ)证明:存在常数0C,使得对任意正整数n,都有2;naCn(Ⅱ)证明:对任意正整数n,都有143nnaan.