2016-2017北京通州潞河中学高二下期中数学试卷【理】

潞河中学2016—2017—2期中高二数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确选项的序号填在答题卡上．1．曲线313yx在1x处切线的倾斜角为（）．A．1B．π4C．π4D．5π4【答案】C【解析】∵313yx，∴2yx．根据导数的几何意义可知，曲线313yx在1x处的切线斜率1k．设切线的倾斜角为，则tan1，又[0,π)，所以π4．故选C．2．已知向量(1,1,0)a，(1,0,2)b，且kab与a互相垂直，则k（）．A．13B．12C．13D．12【答案】B【解析】∵(1,1,0)a，(1,0,2)b，∴(1,,2)kabkk．又kab与a互相垂直，∴100kk，解得12k．故选B．3．函数()(3)exfxx的单调递增区间是（）．A．(2,)B．(3,)C．(,2)D．(,3)【答案】A【解析】()(2)exfxx，令()0fx，解得2x．所以函数()(3)exfxx的单调递增区间是(2,)．故选A．4．如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，12AA，1ACBC，则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是（）．A．66B．65C．64D．63【答案】A【解析】连结1BC．∵11ACAC∥，∴11CAB是异面直线1AB与AC所成的角（或所成角的补角）．∵在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，12AA，1ACBC，∴2AB，16AB，15BC，111AC，∴2221111111111656cos26216ACABBCCABACAB．∴异面直线1AB与AC所成角的余弦值为66．故选A．5．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点(,)Mxy，则点M取自阴影部分的概率为（）．A．12B．13C．14D．16【答案】B【解析】由图可知基本事件空间所对应得几何度量()1S，满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量3123200211()()d0333SAxxxxx．所以点M取自阴影部分的概率为1()1313SApS．故选B．6．已知函数()sin2fxxtx．若函数()fx在R上单调递增，则实数t的取值范围为（）．A．11,2B．11,22C．[1,1]D．11,2【答案】B【解析】()12cos2fxtx．若函数()fx在R上单调递增，则()12cos20fxtx≥在R上恒成立．若cos20x，则()0fx≥恒成立；若0cos21x≤，则12cos2tx≥，又112cos22x≤，所以12t≥．若1cos20x≤，则12cos2tx≤，又112cos22x≥，所以12t≤，故1122t≤≤．故选B．7．已知函数()fx与()fx的图象如图所示，则函数()()exfxgx的单调递增区间为（）．A．(0,4)B．(,1)，4,43C．40,3D．(0,1)，(4,)【答案】D【解析】由图可知，先减后增的那条曲线为()fx的图象，先增后减最后增的曲线为()fx的图象．当(0,1)(4,)x时，()()fxfx．由于()()()0exfxfxgx，则()()0fxfx，则(0,1)(4,)x．所以函数()gx的单调减区间是(0,1)，(4,)．故选D．8．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AD，11BC上的动点，设AEx，1BFy．若棱．1DD与平面BEF有公共点，则xy的取值范围是（）．A．[0,1]B．13,22C．[1,2]D．3,22【答案】C【解析】如图所示，画出平面BEF与平面11CDDC的交线MN，题意等价于要求MN与棱1DD有交点时(01,01)xyxy≤≤≤的取值范围．由相似三角形的知识，可得1111NCCFBBFB，所以11yNCy．同理，DMDEABAE，所以1xDMx．若MN与棱1DD有交点，则11NCDDMCMD≤，即1111yxxx≤，整理得1xy≥．另一方面，由已知得1x≤，1y≤，有2xy≤，取等号时，1x且1y，此时MN与面对角线1CD重合，平面BEF恰与棱1DD交于点D．综上，xy的取值范围是[1,2]．故选C．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题．本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案写在答题纸上．9．10(21)dxx__________．【答案】2【解析】12100(21)d()|2xxxx．10．已知离线型随机变量X的概率分布如下：X135P0.5m0.2则其数学期望EX等于__________．【答案】2.4【解析】由题意可知0.50.21m，故0.3m．所以数学期望()10.530.350.22.4EX．11．如图，函数()fx的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则0(1)(1)limxfxfx__________．（用数字作答）【答案】2【解析】由题意可得，线段AB的方程为24(02)yxx≤≤，线段BC的方程为：2(26)yxx≤≤，故0(1)(1)lim(1)2xfxffx．12．已知函数2ln,0(),0xxxfxxxx≤，则()fx的最小值为__________．【答案】12【解析】当0x时，()lnfxxx，()ln1fxx，令()0fx，则1ex，令()0fx，则10ex，∴()fx在10,e上是减函数，在1,e上是增函数．∴()fx在(0,)上的最小值为1111lneeeef．当0x≤时，2()fxxx，∴()fx在(,0)上的最小值为11112422f．∵11e2，∴()fx的最小值为12．13．曲线()exfx在点00(,())xfx处的切线经过点(1,0)P，则0x___________．【答案】2【解析】函数()exfx的导数为()exfx，所以曲线exy在00(,())xfx处的切线方程为000ee()xxyxx，又切线经过点(1,0)P，所以000ee(1)xxx，即011x，解得02x．14．对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，给出定义：设()fx是()fx的导数，()fx是()fx的导数，若方程()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212fxxxx，请你根据这一发现，计算12201520162017201720172017ffff__________．【答案】2016【解析】函数的导数2()3fxxx，()21fxx，由0()0fx，得0210x，解得012x，而112f，故函数()fx关于点1,12对称，所以()(1)2fxfx．设12201520162017201720172017ffffm，则20162015212017201720172017ffffm，两式相加得220162m，故2016m．三、解答题．本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知函数3()31fxxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间．（Ⅱ）求()fx的极值．（Ⅲ）求()fx在[2,0]上的最大值和最小值．【答案】【解析】（1）2()333(1)(1)fxxxx+，令()0fx，则1x或1x；令()0fx，则11x．∴函数()fx的单调增区间为(,1)和(1,)+，单调减区间为(1,1)．（2）由（1）可知，3()=(1)=(1)3(1)13fxf极大值+．()(1)1311fxf极小值+．（3）由（1）可知，()fx在[2,1]上是增函数，在[1,0]上是减函数．且3(2)(2)3(2)11f+，(0)1f，∴()fx的最大值max()(1)3fxf，()fx的最小值min()(2)1fxf．16．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC，2ACBC，22AB，14CC，M是棱1CC上一点．（Ⅰ）求证：BCAM．（Ⅱ）若M，N分别是1CC，AB的中点，求证：CN∥平面1ABM．（Ⅲ）若132CM，求二面角1AMBC的大小．【答案】【解析】（1）证明：∵在三棱柱111ABCABC中，1CC底面ABC，BC平面ABC，∴1CCBC．又∵ABC△中，2ACBC，22AB，∴2228ACBCAB+，即BCAC．又1ACCCC，∴BC平面11ACCA．∵AM平面11ACCA，∴BCAM．（2）证明：连接1AB交1AB于点P．∵三棱柱111ABCABC中，四边形11AABB是平行四边形，∴P是1AB的中点．又∵M，N分别是1CC，AB的中点，∴NPCM∥，且NPCM，∴四边形MCNP是平行四边形，∴CNMP∥．∵CN平面1ABM，MP平面1ABM，∴CN∥平面1ABM．（3）∵BCAC，且1CC平面ABC，∴以C为原点，CA，CB，1CC分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Cxyz．由132CM，得(0,0,0)C，(2,0,0)A，1(0,2,4)B，50,0,2M，52,0,2AB，130,2,2BM．设平面1AMB的法向量为(,,)nxyz，则100nAMnBM，即52023202xzyz+，令5x，则3y，4z，即(5,3,4)n．又平面1MBC的一个法向量是(2,0,0)CA，∴2cos,2||||nCAnCAnCA，由图可知二面角1AMBC为锐角，∴二面角1AMBC的大小为π4．17．（本小题13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124ab其中，a，b是正整数，且ab．（1）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数．（2）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X的分布列．（3）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．【答案】【解析】（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有356407台手机的待机时间不少于123小时．（2）X可能的取值为0，1，2，3．4711(0)C35PX；