2016-2017北京西城31中高一下期中数学试卷

北京三十一中学2016—2017学年度第二学期高一第一学段数学模块考试A卷【必修模块5】一、选择题（每小题4分，共32分）1．不等式20xx的解集是（）．A．{0}xxB．{1}xxC．{01}xxD．{0xx或1}x【答案】D【解析】∵20xx，∴(1)0xx，解得0x或1x．故选D．2．不等式223xx+的解集是（）．A．{31}xxB．{13}xxC．{3xx或1}xD．{1xx或3}x【答案】A【解析】∵223xx+，∴2230xx+，即(1)(3)0xx+，解得31x．故选A．3．在等差数列{}na中，24a，61a，则35aa+（）．A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】由等差数列的性质可得3526415aaaa+++．故选A．4．在等比数列{}na中，若1238aaa，则2a等于（）．A．38B．2C．83D．4【答案】B【解析】由等比数列的性质可得312328aaaa，所以22a．故选B．5．数列{}na满足：13a，12nnaa+，则4a等于（）．A．38B．24C．48D．54【答案】B【解析】∵数列{}na中，13a，12nnaa+，∴数列{}na是以3为首项，2为公比的等比数列，∴33413224aaq．故选B．6．在ABC△中，3AB，45A，60C，则BC等于（）．A．33B．22C．2D．33+【答案】C【解析】由正弦定理可知sinsinABBCCA，即3sin60sin45BC，所以3sin452sin60BC．故选C．7．在ABC△中，已知4b，2c，120A，则a等于（）．A．2B．6C．2或6D．27【答案】D【解析】由余弦定理可得2222cos164242cos12028abcbcA++，所以27a．故选D．8．设a，bR，且ab，则下列不等式中恒成立的是（）．A．1abB．11abC．22abD．33ab【答案】D【解析】∵函数3yx在R上单调递增，∴若ab，则33ab．故选D．二、填空题（每小题4分，共24分）9．在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1a，7b，3c，则B___________．【答案】150【解析】由余弦定理可知2221373cos22213acbBac，故150B．10．函数3(0)yxxx+的最小值是___________．【答案】23【解析】∵0x，∴33223yxxxx≥，当且仅当3xx，即3x时，等号成立．故函数3(0)yxxx的最小值为23．11．数列{}na的前n项和210nSnn，则该数列的通项公式为__________．【答案】211nan【解析】∵数列{}na的前n项和210nSnn，∴19a．当2n≥时，22110(1)10(1)211nnnaSSnnnnn，经验证19a满足上式．∴211nan．12．设等差数列{}na的前n项和是nS，若17102S，则9a__________．【答案】6【解析】由等差数列的性质可知117179()17171022aaSa．故96a．13．已知实数x，y满足约束条件226xyxy≥≥≤+，则24zxy+的最大值为__________．【答案】20【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图所示，24zxy可化为124zyx，作出直线12yx并平移，由图可知，当直线过点(2,4)B时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值，故max224420z．14．对任意实数x，不等式230xxa+恒成立，a的取值范围是__________．【答案】9,4【解析】若对任意实数x，不等式230xxa恒成立，则940a，解得94a．故a的取值范围是9,4．三、解答题（44分）15．（6分）解不等式：305xx．【答案】【解析】不等式305xx等价于(3)(5)0xx，∴35x，故不等式305xx的解集是{35}xx．16．（6分）求函数3(3)3yxxx+的最小值及取得最小值时x的值．【答案】【解析】∵3x，∴30x，∴333332(3)3233333yxxxxxx≥，当且仅当333xx，即33x时，等号成立．故当33x时，函数33yxx取得最小值，min233y．17．（12分）已知关于x的不等式2(1)10axax≥．（1）若3a时，求上述不等式的解集．（2）若aR时，求上述不等式的解集．【答案】【解析】（1）当3a时，23210xx≥，∴(1)(31)0xx≥，∴13x≤或1x≥，故不等式的解集为13xx≤或1}x≥．（2）∵2(1)10axax≥，∴(1)(1)0xax≥．当0a时，不等式可化为10x≥，解得1x≥．当0a时，(1)()0xax的两根110xa，21x，∴1xa≤或1x≥；当0a时，若11a，即1a时，不等式等价于2(1)0x≥，解得1x；若11a，即10a，则11xa≤≤；若11a，即1a，则11xa≤≤．综上所述，当0a时，不等式的解集为{1}xx≥；当0a时，不等式的解集为1xxa≤或1}x≥；当1a时，不等式的解集为11xxa≤≤；当1a时，不等式的解集为{1}xx；当10a时，不等式的解集为11xxa≤≤．18．（10分）在ABC△中，π4A，π3B，2BC．（1）求AC的长．（2）求AB的长．【答案】【解析】（1）∵在ABC△中，π4A，π3B，2BC，∴由正弦定理得sinsinBCACAB，即2ππsinsin43AC，∴π32sin2326π2sin42AC．（2）∵6AC，2BC，1cos2B，∴由余弦定理得2222cosACABBCABBCB，即2642ABAB，解得13AB或13AB（舍去），∴13AB．19．（10分）在等差数列{}na中，2723aa+，3829aa+．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式．（Ⅱ）若数列{}nnab+的首项为1，公比为q的等比数列，求{}nb的前n项和nS．【答案】【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，∵27382329aaaa，∴1127232929adad，解得113ad，∴数列{}na的通项公式为32nan．（2）由数列{}nnab是首项为1，公比为q的等比数列得1nnnabq，即132nnnbq，∴132nnbnq，∴1[147(32)](1)nnSnqqq21(31)(1)2nnnqqq．∴当1q时，2(31)322nnnnnSn；当1q时，(31)121nnnnqSq．B卷【综合卷】一、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在题中横线上．1．不等式|1|2x≤的解集是___________．【答案】{13}xx≤≤【解析】∵|1|2x≤，∴212x≤≤，即13x≤≤，故不等式|1|2x≤的解集是{13}xx≤≤．2．已知等差数列{}na的公差为2，若1a，3a，4a成等比数列，则1a等于__________．【答案】8【解析】∵等差数列{}na的公差为2，且1a，3a，4a成等差数列，∴2314aaa，即2111(4)(6)aaa，解得18a．3．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c，6b，120B，则a__________．【答案】2【解析】∵ABC△中，2c，6b，120B，∴2222cosbacacB，即2622aa，解得22a（舍去）或2a．故2a．4．设a，b为实数且3ab+，则22ab+的最小值是__________．【答案】42【解析】∵20a，20b，∴322222222242ababab≥．故22ab+的最小值是42．5．已知数列{}na是等比数列，nS是它的前n项和，若2q，5163a，则5S___________．【答案】313【解析】∵数列{}na是等比数列，∴451116163aaqa，解得113a，故55151(12)(1)3131123aqSq．6．已知数列{}na中，1(21)(21)nann+，则nS____________．【答案】21nn【解析】∵1111(21)(21)22121nannnn+，∴12311111111112335212122121nnnSaaaannnn．7．已知集合2{40}Axxx，301xBxx≤+，那么集合AB___________．【答案】{10}xx【解析】∵集合2{40}{0Axxxxx或4}x，集合30{13}1xBxxxx≤≤+，∴集合{10}ABxx．二、解答题：本大题共2小题，共22分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．8．（10分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3cos5A，5bc．（1）求ABC△的面积．（2）若6bc+，求a的值．【答案】【解析】（1）∵3cos5A，A为三角形内角，∴24sin1cos5AA，∴114sin52225ABCSbcA△．（2）∵5bc，6bc，∴5b，1c；或1b，5c．∵3cos5A，∴由余弦定理得2222cos125620abcbcA，∴25a．9．（12分）在数列{}na中，142nnSa++，11a．（1）设12nnnbaa+，求证数列{}nb是等比数列．（2）2nnnac，求证数列{}nc是等差数列．（3）求数列{}na的通项公式及前项和公式．【答案】【解析】（1）由142(*)nnSanN知2142nnSa，两式相减得2144nnnaaa，即21122(2)nnnnaaaa．又∵12nnnbaa，∴12nnbb，已知2142Sa，11a，解得25a，12123baa．∴数列{}nb是首项为3，公比为2的等比数列，132nnb．（2）∵(*)2nnnacnN，∴1111111232322224nnnnnnnnnnnaaaacc．又11122ac，∴数列{}nc是首项为12，公差是34的等差数列，3144ncn．（3）∵(*)2nnnacnN，又3144ncn，∴2(31)2nnan．当2n≥时，1142(34)22nnnSan．当1n时，111Sa也适合上式，∴{}na的前n项和为1(3n4)22nnS．