2016-2017北京西城156中高二下期中数学试卷【文】

北京156中学2016-2017学年度第二学期高二数学（文）期中测试一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合|02Axx，|10Bxx≥，则集合AB（）．A．(0,1)B．0,1C．(1,2)D．1,2【答案】D【解析】∵集合|02Axx，集合|10|1Bxxxx≥≥，∴集合|121,2ABxx≤．故选D．2．在复平面内，复数i(2i)对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】复数i(2i)12i，其对应的点为(1,2)，位于第二象限．故选B．3．若i是虚数单位，则1i1i的虚部为（）．A．iB．1C．iD．1【答案】B【解析】1i(1i)(1i)2ii1i(1i)(1i)2，虚部为1．故选B．4．已知函数()yfx，其导函数()yfx的图象如图，则对于函数()yfx的描述正确的是（）．A．在(,0)上为减函数B．在0x处取得最大值C．在(4,)上为减函数D．在2x处取得最小值【答案】C【解析】A项，当(,0)x时，()0fx，所以()fx在(,0)上为增函数，故A项错误；B项，由()fx图象可知，()fx在0x处取得极大值，故B项错误；C项，当(4,)x时，()0fx，所以()fx在(4,)上为减函数，故C项正确；D项，(0,2)x时，()0fx，(2,4)x时，()0fx，()fx在2x处取得极小值，故D项错误．综上所述．故选C．5．已知函数32()39fxxaxx，(3)0f，则a等于（）．A．5B．2C．3D．4【答案】A【解析】2()323fxxax，所以(3)27630fa，解得5a．故选A．6．如果命题“p且q”是假命题，“p”也是假命题，则（）．A．命题“p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题C．命题“p且q”是真命题D．命题“p且q”是真命题【答案】C【解析】∵q是假命题，∴q是真命题，又∵p且q是假命题，∴p是假命题，p是真命题，∴p或q是真命题，A项错误；p或q是真命题，B项错误；p且q是真命题，C项正确；p且q是假命题，D项错误．故选C．7．函数()3lnxfxx的单调递减区间为（）．A．10,eB．1,eC．1,eD．1,ee【答案】A【解析】()ln1fxx，令()0fx，则ln10x，解得10ex，所以函数()3lnfxxx的单调递减区间是10,e．故选A．8．已知1a，复数2(1)(2)i(,)zaaabR，则“1a”是“z为纯虚数”的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】复数2(1)(2)izaa为纯虚数，则210a且20a，解得1a，所以“1a”是“z为纯虚数”的部分不必要条件．故选A．9．观察下列各等式：2622464，5325434，7127414，102210424．依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（）．A．824(8)4nnnnB．1(1)52(1)4(1)4nnnnC．424(4)4nnnnD．152(1)4(5)4nnnn【答案】A【解析】观察给出的等式可知：等式左边的两个式子的分子之和为8，分母分别为分子减去4，所以得到的一般性的式子为：824(8)4nnnn．故选A．10．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）．A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由题设可知，乙，丁说的话同真同假，若乙说的是真话，则甲说的也是真话，与已知条件中只有两人说的是真话矛盾，所以乙说的是假话，则罪犯是乙．故选B．二、填空题（每小题5分，共30分）11．命题“0xR，00xex”的否定是__________．【答案】xR，xex≤【解析】特殊命题的否定需将存在量词改为全称量词，同时否定结论，故“0xR，00xex”的否定是：xR，xex≤．12．已知复数z满足2i1iz，那么z__________，||z__________．【答案】1i2【解析】复数2i2i(1i)i(1i)1i1i(1i)(1i)z，故1iz，||2z．13．曲线3yx在点(1,1)A处的切线方程是__________．【答案】320xy【解析】3yx的导数为23yx，所以1|3xy．所以曲线3yx在点(1,1)处的切线方程是13(1)yx，即320xy．14．设函数ln()xfxx，[1,4]x则()fx的最大值为__________，最小值为__________．【答案】1e0【解析】由ln()xfxx得21ln()xfxx，令()0fx，则1ln0x，解得0ex；令()0fx，则1ln0x，解得ea．∴函数()fx在[1,e]上单调递增，在[e,4]上单调递减，且(1)0f，ln4(4)04f，∴()fx的最大值为lne1(e)eef，()fx的最小值为(1)0f．15．已知函数3()fxxax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是__________．【答案】3a≥【解析】由题意应有2()30fxxa≥在区间(1,1)上恒成立，则23ax≥在(1,1)x时恒成立，故3a≥．16．设函数2()(2)exfxxx下列命题：①()0fx的解集是|02xx，()0fx的解集是|0xx或2x；②(2)f是极小值，(2)f是极大值；③()fx没有最小值，也没有最大值；④()fx有最大值，没有最小值．其中正确的命题序号为__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②④【解析】①项，()0fx，则220xx，解得02x，若()0fx，则220xx，解得0x或2x，所以()0fx的解集是|02xx，()0fx的解集是|0xx或2x，故①项正确；②项，2()(2)exfxx，令()0fx，得22x；令()0fx，得2x或2x，∴()fx的单调减区间为(,2)和(2,)，单调增区间为(2,2)，∴()fx的极小值为(2)f，()fx的极大值是(2)f．故②项正确；③项，∵2x时，()0fx恒成立，x时，()fx，∴()fx无最小值；又∵()fx的单调减区间为(,2)，(2,)，单调增区间为(2,2)，且2x时，()0fx，(2)0f，∴函数()fx有最大值(2)f．故③项错误；④项，由③可知，④正确．综上所述，正确的命题序号是①②④．三、解答题（共70分）17．（本小题满分13分）已知函数321()33fxxxx．（1）求()fx的单调区间．（2）求()fx在区间[3,3]上的最大值和最小值．【答案】见解析．【解析】（1）由题得2()23(1)(3)fxxxxx．令()0fx，解得1x或3x，令()0fx，解得13x，∴()fx的单调递增区间为(,1)和(3,)，单调递减区间为(1,3)．（2）由（1）可知，()fx在区间(3,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，且(3)9f，(3)9f，∴()fx在区间[3,3]上的最大值为5(1)3f，最小值为(3)(3)9ff．18．（本小题满分13分）已知集合|28xAx，2|280Bxxx，|1Cxaxa．（1）求集合AB．（2）若CB，求实数a的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）集合|28|3xAxxx，集合2|280|24Bxxxxx，故集合|23ABxx．（2）∵CB，∴142aa≤≥，解得：23a≤≤，故实数a的取值范围是[2,3]．19．（本小题满分14分）有一个工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加成本31()20036cxxx（元）．已知生产出的产品都能以每件500元的价格售出．（1）将该厂的利润()Lx（元）表示为产量x（件）的函数．（2）要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得31()5002500()500250020036LxxCxxxx，化简得31()300250036Lxxx，（其中xN）．（2）21()30012Lxx，则由21()300012Lxx，解得60x（件）．当060x≤时，()0Lx，函数()Lx单调递增，当60x时，()0Lx，函数()Lx单调递减，所以60x是函数()Lx的极大值点，同时也是()Lx的最大值点，所以当60x时，max()9500Lx元，故要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元．20．（本小题满分15分）已知函数e()(,0)xafxaaxR．（1）当1a时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的方程．（2）求函数()fx的单调区间．（3）当(0,)x时，()1fx≥恒成立，求a的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）由e()xafxx，得：22eee(1)()xxxaxaaxfxxx，0x，当1a时，e()xfxx，2e(1)()xxfxx，∴(1)ef，(1)0f，∴曲线()fx在点(1,(1))f处切线的方程为ey．（2）函数()fx的定义域为|0xx，2eee(1)()exxxxaxaaxfxx．①若0a，当1x时，()0fx，函数()fx为增函数；0x和01x时，()0fx，函数()fx为减函数；②若0a，当0x和01x时，()0fx，函数()fx为增函数；当1x时，()0fx，函数()fx为减函数，综上所述，当0a时，函数()fx的单调增区间为(1,)，单调减区间为(,0)和(0,1)，当0a时，函数()fx的单调增区间为(,0)和(0,1)，单调减区间为(1,)．（3）当(0,)x时，e()1xafxx≥恒成立等价于exxa≥在(0,)x时恒成立，设()exxgx，则1()exxgx．可知，当01x时，()0gx，()gx为增函数；1x时，()0gx，()gx为减函数，所以max1()(1)egxg，故1ea≥．21．（本小题满分15分）已知函数22()2ln(0)fxxaxa．（1）若()fx在1x处取得极值，求实数a的值．（2）求函数()fx的单调区间．（3）若()fx在[1,e]上没有零点，求实数a的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）22()2ln(0)fxxaxa的定义域为(0,)，且22()2afxxx．∵()fx在1x处取得极值，∴(1)0f，解得1a或1a（舍），当1a时，(0,1)x，()0fx；(1,)x，()0fx